Exo sur les expos

[Anonyme]

salut j'aurais besoin d'un petit coup de main pour mon exo, voici ce que j'ai :

On note f(x) la fonction définie sur |R par :

f(x)= (2+cos(x)-sin(x))e1-x

1°a) Déterminer le signe de f(x)

1°b) Démontrer que f est strictement décroissante sur |R.


J'ai déjà calculé la dérivée, mais je suis pas sûr qu'elle soit correcte, donc faudrait que qlq1 puisse me "valider" ceci :

f'(x)= -2sin(x)e^(1-x) + 2e^(1-x) / (e(1-x))^2

Ensuite je vois pas comment mis prendre, si on pouvait me guider plz

d'avance merci à celui qui m'apportera son aide :)

[becirj]

Bonjour

D'accord pour la dérivée. En mettant en facteur au numérateur, le signe est facile à étudier car

[Anonyme]

oki merci ça me rassure je suis pas si nul :)
donc normalement le signe doit être ' - '

mais après comment je démontre que f est strictement décroissante sur |R ? stp

[becirj]

Problème : la fonction est strictement croissante (sa dérivée est positive).
Où est l'erreur ? Dans la fonction que tu as recopiée ou dans le texte de la question ?

[Anonyme]

c'est bien dit démontrer que f est strictement décroissante sur R
ou est l erreur? ma dérivée?

[Anonyme]

regarde:http://membres.lycos.fr/bandeacubi/relation2.jpg

[becirj]

Dans ton texte, j'avais lu qu'il s'agissait d'un quotient or il s'agit d'un produit. Les calculs sont à recommencer !

[Anonyme]

j'ai utilisé : u'v - v'u / v² (où u = (2+cos(x)-sin(x))
ca marche pas?

[becirj]

Il s'agit de la dérivée d'un produit : avec et

[Anonyme]

evidemment si je prend pas la bonne formule...
je suis vraiment à la masse défois...
bon je vais refaire le calcul, merci

[Anonyme]

bon une fois modifié j'obtiens f'(x)= -2e^1-x
donc ensuite je fais -2e^1-x < 0 c'est bien ca ?

[becirj]

Non

[Anonyme]

d'accord .

[Anonyme]

ensuite j'ai fait ca :

-1 < cos x < 1
0 < cos x +1 < 2
-2e^1-x (cosx +1) < 2 x -2e^1-x
soit -2e^1-x (cosx +1) < -4e^1-x

donc le signe de f(x) est négatif

comment je démontre que c'est strictement décroissant??

[becirj]

Attention, il y a une faute, tu as multiplié une inégalité par - qui est négatif donc l'inégalité change de sens. IL suffit d'écrire et - donc leur produit est inférieur ou égal à 0 soit
La dérivée peut être nulle lorsque mais elle ne s'annule que pour des valeurs isolées donc la fonction f est strictement décroissante.

[Anonyme]

oki merci!
juste une chose tu entends quoi par "valeurs isolées" ?

[becirj]

La fonction ne serait pas strictement croissante si elle était nulle sur un intervalle non vide de R (elle serait seulement croissante) mais ici ce n'est pas le cas car les nombres sont séparés et ne constituent pas un intervalle.