Exo de probabilités

[yayamat]

salut à tous je dois faire cet exo pour ce vendredi..j'etais absent au cours.
merci

Soit n un nombre entier.
On considère une variable aléatoire X dont la loi est donnée par le tableau suivant:
xi 1 2 3 ... n
P(X=xi) 1/n 1/n ... 1/n


1)Vérifier que ce tableau est bien celui d'une loi de probabilité.
2)Calculer E(x) n
3)a)Montrer que E((k+1)^3-k^3)=n^3+3n^2+3n (info:E c'est la symbole somme)
k=1
n n
b)Montrer que E((k+1)^3-k^3)=3 E k^2+(3n2+5n)/2
k=1 k=1
n
C)en déduire que E k^2=(n(n+1)(2n+1))/6
k=1
D)Calcumer V(X)

4)Un urne contient 50jétonq numérotés de 1à50.On tire au hasard un jeton et on note X ce numéro.Calculer E(X) et V(X).

______________________
1)la loi de probabilité c'est déterminer la probabilité de chacunes des issues.
donc 1/n+1/n+1/n+...+1/n=1. c'est tout? merci

maintenant je fais le question 2

[yayamat]

xi 1 2 3 ... n
P(X=xi) 1/n 1/n 1/n ... 1/n
excuse moi j'ai fais une petite erreur.

[Shew]

xi 1 2 3 ... n
P(X=xi) 1/n 1/n 1/n ... 1/n
excuse moi j'ai fais une petite erreur.

Si un tableau représente une loi de probabilité alors chaque élement est un nombre compris entre 0 et 1 et la somme totale des probabilités vaut 1 .

[yayamat]

Si un tableau représente une loi de probabilité alors chaque élement est un nombre compris entre 0 et 1 et la somme totale des probabilités vaut 1 .

oui justmement je cite "P(X=xi)=1 1/n+1/n+1/n+...+1/n "??

[Shew]

oui justmement je cite "P(X=xi)=1 1/n+1/n+1/n+...+1/n "??

Il faut être un peu plus précis en constatant qu'il y'a n éléments dans le tableau .

[yayamat]

Il faut être un peut plus précis en constatant qu'il y'a n éléments dans le tableau .

omega : ( 1;2;3;...;n ) ou les valeurs prises par X sont ( 1;2;3;...;n )

n
E(la symbole de somme) p=1
i=1
donc oui ce tableau est bien celui d'une loi de probabilité..

[Shew]

omega : ( 1;2;3;...;n ) ou les valeurs prises par X sont ( 1;2;3;...;n )

n
E(la symbole de somme) p=1
i=1
donc oui ce tableau est bien celui d'une loi de probabilité..

Chaque élément a une probabilité de 1/n d'apparaitre , il y'a donc equiprobabilité . n > 1 donc et il y'a n éléments au total soit : . Ce tableau suit bien une loi de probabilité .

[yayamat]

Chaque élément a une probabilité de 1/n d'apparaitre , il y'a donc equiprobabilité . n > 1 donc et il y'a n éléments au total soit : . Ce tableau suit bien une loi de probabilité .

ah oui je n'avais pas pensé que les issues de X sont equiprobables!
merci beaucoup

2)
E(X)=1*1/n +2*1/n +3*1/n +...+n*1/n = 1/n + 2/n + 3/n + n/n = 6/n + n/n =6n/n=6
je doute que je fais une petite erreur

[Shew]

ah oui je n'avais pas pensé que les issues de X sont equiprobables!
merci beaucoup

2)
E(X)=1*1/n +2*1/n +3*1/n +...+n*1/n = 1/n + 2/n + 3/n + n/n = 6/n + n/n =6n/n=6
je doute que je fais une petite erreur

La question 2 n'est pas complète je crois

[yayamat]

La question 2 n'est pas complète je crois

... est remplacé par K ?
E(X)=1
donc 1 1*1/n + 2*1/n + 3*1/n + K*1/n + n*1/n
:mur:

[yayamat]

y'a personne ? up

[Shew]

... est remplacé par K ?
E(X)=1
donc 1 1*1/n + 2*1/n + 3*1/n + K*1/n + n*1/n
:mur:

Je n'ai pas compris que voulez vous dire ???

[yayamat]

Je n'ai pas compris que voulez vous dire ???

il faut que je calcule E(X)
peut-être je fais n'importe quoi..

pour la deuxième question,
E(X)=1*1/n +2*1/n +3*1/n +...+n*1/n=1/n + 2/n +3/n +...+1= ??
"..."je ne sais pas quoi faire

[yayamat]

1+2+...+n= n(n+1)/2 c'est la suite d'arithmétique ?!

[Shew]

1+2+...+n= n(n+1)/2 c'est la suite d'arithmétique ?!

Plutot :

[yayamat]

Plutot :

Ah d'accord merci beaucoup.

pour la question 3)
E((k+1)^3-k^3)=n^2+3n^2+3n

=>E((k+1)^3-k^3)
=(k^3+3*k^2*1+1^3)-k^3
=3k^2+1
non pas ca je ne sais pas..

[Shew]

Ah d'accord merci beaucoup.

pour la question 3)
E((k+1)^3-k^3)=n^2+3n^2+3n

=>E((k+1)^3-k^3)
=(k^3+3*k^2*1+1^3)-k^3
=3k^2+1
non pas ca je ne sais pas..

. Recherchez les expressions communes et simplifiez

[yayamat]

. Recherchez les expressions communes et simplifiez

=(8-1)+(27-8)+(64-27)+...+(n^3+3*n^2*1+3*n*1+1^3)-n^3)
=7+19+37+...+(n^3+3n^2+3n+1-n^3)
=63+...+3n^2+3n+1

pourtant je n'ai pas trouvé les expressions communes..

[Shew]

=(8-1)+(27-8)+(64-27)+...+(n^3+3*n^2*1+3*n*1+1^3)-n^3)
=7+19+37+...+(n^3+3n^2+3n+1-n^3)
=63+...+3n^2+3n+1

pourtant je n'ai pas trouvé les expressions communes..

Prenons la première somme on constate que soit . Essayez de raisonner de façon analogue et de trouver un schema systématique qui se répète sans écrire toutes les expressions (ce serait interminable) .

[yayamat]

Prenons la première somme on constate que soit . Essayez de raisonner de façon analogue et de trouver un schema systématique qui se répète sans écrire toutes les expressions (ce serait interminable) .

\sum_{k = 1}^n ((k + 1)^3 - k^3) = [(1 + 1)^3 - 1^3] + [(2 + 1)^3 - 2^3] + [(3 + 1)^3 - 3^3] + ... + [(n + 1)^3 - n^3]

=((1 + 1)^3 - 1^3) + ((2 + 1)^3 - 2^3)+((3+1)^3-3^3)+((n+1)^3-n^3)
=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+((n+1)^3-n^3)
=1^3+1^3+1^3+...+((n+1)^3-n^3)