Exo maths

[Cameliaa.rose-xO]

Bonjour, voilà je bloque sur un exo de récurrence :

voilà l'énnoncé :

on considère la suite u définie par U1 = 4 et U2=14 et pour tout n non nul Un+2= 5Un+1-6Un
montrer par récurrence que pour tout entier n>0
En déduire la limite de la suite u

J'ai écris :
Un+1 = Un+2 + 6Un / 5

Initialisation
U1=4 et
donc p(1) est vraie.

Hérédité :
supposons que P(n+2) est vrai pour un n.
Et la je bloque!
Merci de m'aider

[Luc]

Salut,

attention, ici on utilise n'utilise pas la récurrence pour enfants, mais la récurrence pour grandes personnes!
Plus précisément, la suite Un est définie par récurrence double : chaque terme est défini à partir des deux précédents et pas uniquement avec le précédent.
Du coup, il faut faire un raisonnement par récurrence adapté.
L'hérédité sera ( On suppose P(n) et P(n+1) vraies) => On montre P(n+2) Vraie (et pas l'inverse)
L'initialisation sera de montrer que P(1) et P(2) sont vraies (sinon on ne peut pas propager la récurrence)

Bon courage!

[Cameliaa.rose-xO]

Salut,

attention, ici on utilise n'utilise pas la récurrence pour enfants, mais la récurrence pour grandes personnes!
Plus précisément, la suite Un est définie par récurrence double : chaque terme est défini à partir des deux précédents et pas uniquement avec le précédent.
Du coup, il faut faire un raisonnement par récurrence adapté.
L'hérédité sera ( On suppose P(n) et P(n+1) vraies) => On montre P(n+2) Vraie (et pas l'inverse)
L'initialisation sera de montrer que P(1) et P(2) sont vraies (sinon on ne peut pas propager la récurrence)

Bon courage!

Merci pour la réponse!
Mais j'ai rien compris!
c'est faux ce que j'avais écris ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

attention, ici on utilise n'utilise pas la récurrence pour enfants, mais la récurrence pour grandes personnes!

^^ Quelle chance, Cameliaa.rose-xO pourra bénéficier en avance de ce que j'ai découvert il y a 2 semaines !

[Cameliaa.rose-xO]

^^ Quelle chance, Cameliaa.rose-xO pourra bénéficier en avance de ce que j'ai découvert il y a 2 semaines !

XD C'est la même chose que la dernière fois? parceque y a peu de similarité là ? oO

[Luc]

Merci pour la réponse!
Mais j'ai rien compris!
c'est faux ce que j'avais écris ?

Dans la récurrence habituelle ou "pour enfants", le schéma est le suivant : P(n) => P(n+1)
Dans la récurrence double ou "pour grandes personnes", le schéma est [P(n) et P(n+1)] => P(n+2).

Donc dans ton initialisation, ce que tu as fait est bien mais insuffisant, il faut aussi vérifier P(2).
Et dans ton hérédité, ce n'est pas du tout ça : il faut supposer que P(n) et P(n+1) sont vraies pour un certain entier n, et montrer alors P(n+2).

PS : C'est normal de trouver ça dur, ça l'est! Généralement on voit plutôt ça en bac+1 qu'en TS.

[Cameliaa.rose-xO]

Dans la récurrence habituelle ou "pour enfants", le schéma est le suivant : P(n) => P(n+1)
Dans la récurrence double ou "pour grandes personnes", le schéma est [P(n) et P(n+1)] => P(n+2).

Donc dans ton initialisation, ce que tu as fait est bien mais insuffisant, il faut aussi vérifier P(2).
Et dans ton hérédité, ce n'est pas du tout ça : il faut supposer que P(n) et P(n+1) sont vraies pour un certain entier n, et montrer alors P(n+2).

PS : C'est normal de trouver ça dur, ça l'est! Généralement on voit plutôt ça en bac+1 qu'en TS.

D'accord j'ai bien refais l'initialisation mais pour l'hérédité il faut faire comment?
P(n) et P(n+1) vraies? Faut-il additionner Un+1 et Un ?

[Kikoo <3 Bieber]

D'accord j'ai bien refais l'initialisation mais pour l'hérédité il faut faire comment?
P(n) et P(n+1) vraies? Faut-il additionner Un+1 et Un ?

Non, on suppose que P(n) et P(n+1) sont vraies.
Montre alors que P(n+2) est vraie.

[Cameliaa.rose-xO]

Non, on suppose que P(n) et P(n+1) sont vraies.
Montre alors que P(n+2) est vraie.

ah d'accord donc on part de cette expression pour arriver à Un ?
Un+2= 5Un+1-6Un

[Kikoo <3 Bieber]

ah d'accord donc on part de cette expression pour arriver à Un ?
Un+2= 5Un+1-6Un

Mettons les choses au clair.
L'hérédité commence comme ceci : "On suppose que la propriété est vraie à des rangs n et n+1 supérieurs respectivement à 1 et 2, ce qui veut dire que l'on a et .
Montrons alors que la propriété est également vraie au rang n+2.

[Cameliaa.rose-xO]

Mettons les choses au clair.
L'hérédité commence comme ceci : "On suppose que la propriété est vraie à des rangs n et n+1 supérieurs respectivement à 1 et 2, ce qui veut dire que l'on a et .
Montrons alors que la propriété est également vraie au rang n+2.

c’est-à-dire pour ?

[Kikoo <3 Bieber]

c’est-à-dire pour ?

On veut montrer ceci en effet

De quoi te sers-tu ?

[Cameliaa.rose-xO]

On veut montrer ceci en effet

De quoi te sers-tu ?

de Un+2= 5Un+1-6Un ?

[Kikoo <3 Bieber]

de Un+2= 5Un+1-6Un ?

Oui ! Vas-y, ce n'est plus très difficile désormais.

[Cameliaa.rose-xO]

Oui ! Vas-y, ce n'est plus très difficile désormais.

J'ai 6^n+2 - 2^n+2 = 4^n+2 ?

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai 6^n+2 - 2^n+2 = 4^n+2 ?

Non non non, pas du tout ! Attention à tes calculs sur les puissances.
On sait que
A ce moment-là, il suffit de remplacer et par leurs expressions en fonction de n et vérifier que l'on retombe bien sur

Nota : Tu n'as pas le droit de dire que , tu comprends ?

[Cameliaa.rose-xO]

Non non non, pas du tout ! Attention à tes calculs sur les puissances.
On sait que
A ce moment-là, il suffit de remplacer et par leurs expressions en fonction de n et vérifier que l'on retombe bien sur

Nota : Tu n'as pas le droit de dire que , tu comprends ?

Oui mais j'arrive pas à retomber sur l'HR

j'obtiens : 10 + 5 * 3^n+1 - 5 * 2^n+1 - 12 -6 * 3^n+ 6*2^n qu'est-ce que je peux faire?

[Kikoo <3 Bieber]

Allons-y calmement ! ^^

T'as
Et tu veux arriver à .
Pour faire simple, décompose les puissances n+1 en puissances n, ce qui donne :

On factorise par chaque puissance :

Cela donne
Tu t'aperçois vite que donc on peut élever les 3 dans la puissance n-ième de 3, ainsi que que l'on peut élever dans la puissance n-ième de 2.
Cela donne finalement

C'est pas beau ça ?

[Cameliaa.rose-xO]

Allons-y calmement ! ^^

T'as
Et tu veux arriver à .
Pour faire simple, décompose les puissances n+1 en puissances n, ce qui donne :

On factorise par chaque puissance :

Cela donne
Tu t'aperçois vite que donc on peut élever les 3 dans la puissance n-ième de 3, ainsi que que l'on peut élever dans la puissance n-ième de 2.
Cela donne finalement

C'est pas beau ça ?

D'accord! merci, j'aurai pas pu faire ça seule --'

[Kikoo <3 Bieber]

Dsl, si tu veux j'efface et tu refais seule alors ! :)

Mouais bof, ça sert à rien ^^ Bon au moins tu sauras le faire parfaitement la prochaine fois, les doigts dans le nose !