Exo math spé TS(identité de bézout)

[wonderta]

Bien le bonjour amis des maths je bloque sur un petit exo de math spé que j’ai à faire pour mardi.
J’espère qu’il s’en trouvera un parmi ceux qui me liront pour m’éclairer.

Voici l’énoncé :
N un entier naturel non nul et p=2n+1est premier. Montrez que p ne divise pas n !

J’ai exploré les 2 hypothèses suivantes :

*Si il existe u et v dans z tq :
(u)(p) + (v) (n !)=1 alors (p) ^ (n !)=1 d’après l’identité de bézout.

Or comme « p » est premier « p » pas égal a 1

La ou mon problème se corse c’est pour trouver le couple (u ;v)
(On pourra noté que ça marche aussi pour (p)^(n !)=2)



*Autre hypothèse que j’ai testé
Raisonnement par l’absurde :

si p divise n ! il existe k dan Z tq
pk=n !

Soit k= (n !)
p

J’ai tourné ça dans tous les sens mais je n’arrive jamais à montrer que k est non entier de manière sure. :mur:

Merci d’avance pour l’aide.

[sad13]

Je vois pas le lien entre N, n! etc , y a pas une erreur d'énoncé .

C'est ds quelle leçon?

[wonderta]

oups pour le N c'est ma faute c'est un n, sinon tout le reste est bon et sans faute

Sinon c'est dans la partie arithmétique du programme de spé sachant que l'on a déjà vu les sous chapitre suivant:

divisibilité, division euclidienne , congruence , nombre premier ,PGCD , identité de Bézout , théorème de gauss

Tout ça c'est ce que je peux utiliser mais ma feuille d'exercice traite avant tout de l'utilisation de l'identité de Bézout et du théorème de Gauss.

[Sh0nty]

Bonjour wonderta,

Il est bizarre ton énoncé car si p = 2n+1, alors p > n > 0 .
Or comme , p ne peut pas diviser un nombre plus petit que lui!! (dans )

Sh0nty

[wonderta]

Bonjour Sh0nty.

si j'ai bien compris ce que tu m'a dis tu fais fausse route dans ton raisonnement car on veut prouver que "p" ne divise pas "n!" et non pas "n" et a ce qu'on sait on peut trés bien avoir:

n!>p>0

[Sh0nty]

J'avais pas vu le ! :marteau:

Sh0nty

[Ben314]

Salut,
Il n'empèche que, vu que n!=1x2x3x...xn, si un nombre premier divise n!, il faut qu'il divise 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou ... ou n et dans tout les cas, cela implique qu'il est inférieur ou égal à n.

[wonderta]

Non désolé mais prenons par exemple n=11 p=12
12 divise 1x2x3x4=24 soit 12 divise « n ! » mais 12 ne divise pas 1 OU 2 OU 3…en particulier.

« p » peut donc très bien diviser un produit de ces chiffres (1,2,3…n) sans diviser l’un d’eux en particulier.

[sad13]

ola tu contredis le lemme d'Euclide là, t'es sûre?

[wonderta]

arf je ne suis qu'un ane car dans mon exemple p n'est pas égal à 2n+1 et p n'est pas premier :marteau: