Exo des Olympiades Académiques 2005

[Sidney0]

Voilà je suis un élève de premiere S dans l'Académie d'Amiens
Et en m'exerçant à ce concours, je suis tombé sur un exercice assez complexe, on va dire :ptdr:

Voici l'énoncé du problème :
On considère trois réels positifs tels que, pour chaque paire choisie, la différence entre la somme de ces deux réels et le réel restant soit positive
Prouver que le produit de ces trois différences est inférieur ou égal au produit des trois nombres.

Donc, j'ai choisi les inconnues x, y et z pour ce problème et je trouve le système suivant :
{ x + y - z > 0
{ x + z - y > 0
{ y + z - x > 0

Ce système pour prouver ce que l'on doit prouver doit impliquer l'inégalité suivante :
(x + y - z)(y + z - x)(x + z - y) < ou = xyz

J'ai donc développé l'expression à gauche et je trouve :
- x^3 - y^3 - z^3 + x²z + xz² + x²y + xy² + yz² +yz² +2xyz

Et là je sais pas comment continuer...
Si quelqu'un pouvait m'aider
Merci d'avance
Anthony

[becirj]

Je propose une solution, il y en a sans doute d'autres
Je pose : x+y-z=a ; y+z-x =b ; z+x-y=c
Par hypothèse, a,b,c sont trois nombres positifs.
J'exprime x, y z en fonction de a, b et c.
On doit alors démontrer que : (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (je te laisse faire les calculs)

soit
DE même pour b+c ... et il ne reste plus qu'à multiplier membre à membre.

[Chimerade]

Bravo becirj ! Très jolie solution !

[Sidney0]

Merci beaucoup :happy2: