Modulo 2005

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 21:45

bonjour !

pourriez-vous me dire comment attaquer le probleme suivant :
déterminer l'entier n (n<2005) tel que

12345^(67890!)=x (mod 2005)

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 21:46

desolé, mais dans l'enoncé c'est (x<2005)

par **Nightmare** » 21 Aoû 2005, 21:55

Bonjour

C'est une équation sans être une équation, on te demande juste de trouver le reste de la division de 12....^... par 2005

J'y réfléchis

:happy3:
Jord

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 22:00

bonjour nightmare

"juste" ?

par **Nightmare** » 21 Aoû 2005, 22:08

Oui bon c'est peut être pas si simple que mon juste le prétend, mais souvent l'idée d'équation autre que les bonnes équations algébriques du collége font peurs aux éléves alors je te rassure :P

par **Nightmare** » 21 Aoû 2005, 22:16

Est-ce un énoncé farfelu ou ... ? car je trouve les nombres bizarres ...

par **Sylvain** » 21 Aoû 2005, 22:21

67890! => c bien factoriel de ce nombre?

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 22:22

pourquoi tu dis ça ?
les nombres 12345 et 67890 sont les dix chiffres de notre bonne base 10 et 2005 c'est l'année en cours

au fait, je pensais, on a 2005 = 5*401
on pourrait pas tenter de determiner ce que ça vaut modulo 5 puis modulo 401 ?
il faudrait ensuite une propriete pour recoller tout ca, en plus 5 et 401 sont premiers entre eux, ca devrait se faire

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 22:22

pour sylvain : oui, le symbole ! est bien celui de la factorielle

par **Nightmare** » 21 Aoû 2005, 22:24

Oui bah justement, il y a trop de particularité dans ces nombres ...

par **mathador** » 21 Aoû 2005, 22:30

Salut
La méthode pour ce genre de problème : par exemple pour résoudre 5^234567890 = n mod. 78124.
Pour cela il faut penser que 5^7 = 1 mod. 78124, donc 5^234567890 s'écrit :
5^7x5^234567883 , ce qui est congru à 1x5^234567883 modulo 78124 donc à 1.
Pour le problème, ici, on peut déjà remplacer 12345 par 315 (même reste dans la div euclidienne par 2005).
Ensuite on peut noter que 315^4 = 5 modulo 2005.
Il faut continuer comme ça jusqu'à obtenir un 1 ou un -1 ... car il est impossible (du moins à mon niveau) de trouver un reste qui soit autre qu'un machin très simple ... si la réponse est par exemple 1789 (historique), je vois pas comment l'atteindre !
Il faut donc partir de ce que j'ai dit, et espérer tomber sur qqchose de sympa...
Je continue de creuser :ptdr:
Amicalement

par **Nightmare** » 21 Aoû 2005, 22:40

Oui l'idée de mathador est bonne.

En fait il faut s'intérresser aux restes de la division des puissances successives de 305 par 2005.

Ensuite autre probléme sera de trouver comment s'écrira 67890!

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 22:43

ok mathador pour ces precisions
on a alors aussi, pour tout entier naturel k :
315^(4+25k)=5 (mod 2005)
ce qui ne nous avance pas trop parce qu'apres, on devra determiner
5^(67890!/(4+25k)) modulo 2005

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 22:47

pour nightmare : "En fait il faut s'intérresser aux restes de la division des puissances successives de 305 par 2005."

ben déjà, on peut dire que ce sont forcément des multiples de 5

par **Nightmare** » 21 Aoû 2005, 22:49

tout aurait été plus simple si 2005 était premier ...

par **Nightmare** » 21 Aoû 2005, 22:49

Oui c'est vrai que ce sont des multiples de 5, donc pas la peine d'en chercher une qui a un reste qui vaut 1, la méthode tombe à l'eau

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 23:03

en calculant à la calculette les reste de 315^n modulo 2005, j'ai trouvé que c'est cyclique, il y a 25 restes possibles :
315; 980; 1935; 5; 1575; 890; 1655; 25; 1860; 440; 255; 125; 1280; 195; 1275; 625; 385; 975; 360; 1120; 1925; 865; 1800; 1590; 1605; 315; ...

par **mathador** » 21 Aoû 2005, 23:03

je sens que le nombre 401 (=2005/5) va avoir une grande importance ... il est premier, ça peut aider !
Ohla, je deviens mystique ...
PLus sérieusement, je taperai volontiers sur 5 ... par simplicité, je vois pas comment on peut démontrer par calcul que le reste vaut 1935 !!!

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 23:18

je pense à un truc là

selon le chiffre du reste possible ***5 ou ***0 :

315^k se termine par 5 donc
315^k-***5 va avoir un chiffre 0 pour unité
et
315^k-***0 va avoir un chiffre 5 pour unité

par **Anonyme** » 21 Aoû 2005, 23:19

on lira : selon le chiffre des unités du reste possible ***5 ou ***0 :

Modulo 2005

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