Pb d'existence

[Anonyme]

Soient a et b appartenant à R.
Montrer l'existence de A et B tels que :
a.cos(x)+b.sin(x)=A.cos(x-B)

Je ne m'interroge pas sur l'astuce de résolution ms sur la méthode:
Cmt raisonner?
Il faut exprimer A et B en fonction de a et b (données).
Ms a-t-on le droit de developper directemnt Acos(x-B) ss savoir s'ils existent? faut-il supposer leur existence? (Analyse synthese??)

[Nightmare]

Bonjour

On utilise :


On a ainsi :


Ainsi si A et B existent, ils doivent vérifier :


A est alors le module du complexe a+ib et B un de ses arguments.

:happy3:
jord

[Nightmare]

Oui comme tu peux le voir par mon "si A et B existent", on suppose leur existence.

:happy3:
Jord

[Alpha]

Salut!

Sinon, on peut procéder ainsi :



Comme et sont deux nombres de [-1,1] et que la somme de leurs carrés vaut 1,

il existe y dans [0,2pi] tel que et

On a ainsi

Ce qui est bien de la forme demandée.

:happy3:

[Nightmare]

On retrouve bien avec la réponse de alpha le module de a+ib () et un de ses arguments

:happy3:
Jord

[Anonyme]

Je pense que la méthode de alpha est meilleure.
Nightmare: a-ton le droit de supposer l'existence de A et B alors que C la ccl à laquelle on veut aboutir?? Tu supposes en qq sorte la ccl: jms en maths.

[Galt]

Les deux méthodes sont équivalentes.
On a le droit de supposer que A et B existent, cela s'appelle raisoner par condition nécesaire (pour que mon problème ait une solution il faut nécessairement que les choses se passent comme ça). On obtient alors des candidats, mais on n'est pas certain qu'ils vont répondre au problème. On doit à la fin vérifier que ce sont bien des solutions.
Ici, on dit "si A et B existent, alors ... donc A et B sont forcément ces réels là, puis on vérifie que les réels obtenus répondent au problème posé

[Nightmare]

Bonjour Non inscrit :happy3:

Comment raisonnes-tu par l'absurde toi si tu ne suppose jamais quelque chose qu'on demande de démontrer (ou d'infirmer) ?

:lol3:
Jord

[phenomene]

Le raisonnement de Nightmare n'est en effet pas très bien rédigé, mais on peut procéder ainsi. Il s'agit d'un raisonnement par analyse-synthèse.

Première étape : analyse. On cherche des conditions nécessaires sur une éventuelle solution. On voit que la solution, si elle existe, doit nécessairement être celle exhibée par Nightmare.

Seconde étape : synthèse. On vérifie que les conditions trouvées sont suffisantes. Ici, on vérifie que la solution potentielle déterminée précédemment convient, ce qui est immédiat. C'est cette étape, indispensable d'un point de vue logique en effet, que Nightmare n'a pas rédigée.

Le raisonnement par analyse-synthèse est un outil très puissant et très utilisé en mathématiques. Avouons que dans la méthode proposée par Alpha, si on ne sait pas à l'avance qu'il faut mettre le module en facteur, ce n'est pas facile de démarrer ! Comment trouve-t-on cette astuce ? Tout simplement en effectuant l'analyse de Nightmare.

Bref, je leur donne un point chacun : Alpha pour la rigueur de son raisonnement (mais avec une astuce qui semble miraculeuse), Nightmare pour la démarche naturelle de recherche par analyse du problème (mais avec une rédaction pas assez rigoureuse de la solution). J'espère que tout le monde est content ! :lol5:

[Nightmare]

En fait pour compléter Galt, la supposition est "l'implication" du probléme et la vérification "l'implication réciproque" ce qui forme une équivalence .

:happy3:
Jord

[Alpha]

Rien à ajouter à ce qu'à dit phenomene,

sinon que ma démarche est entraînée par la volonté de faire apparaître une forme cosxcosy + sinxsiny, et que acosx + bcosy est une forme qui ressemble beaucoup à celle-là! Que manque-t-il alors à a et b pour être respectivement un cosinus et un sinus? De les diviser tout simplement par racine de a²+b², une idée, qui, d'ailleurs, est probablement inspirée de la factorisation par le module dans les complexes pour obtenir le cosinus et le sinus, mais qu'on peut très bien avoir sans connaitre les complexes.

Amicalement

[Nightmare]

Pour ma défense, nous sommes ici pour donner une méthode à l'éléve (voir une réponse quand elle se fait nécéssaire ou si donner une méthode serait absurde) et aprés c'est a lui de rédiger à sa maniére ! :euh: :zen:

Je rigole bien sur c'est vrai que ma rédaction n'était pas top! Rien a ajouter à ce qu'a dit Phénoméne

:happy3:
Jord

[Anonyme]

Pour résumer: il y a 2 méthodes pr résoudre 1 pb d'existence:
- Analyse synthèse (nightmae)
- Exhiber 1 valeur particuliere en fonction des données (alpha)
Y'a t-il d'autres méthodes pr monter une existence???

[Nightmare]

En fait je ne sais pas si tu l'as vu, mais alpha comme moi-même avant non seulement démontré l'existence des solutions mais les avons aussi donnés .

Je pense qu'on peut se restreindre comme le demande l'énoncé à ne prouver que l'existence en zappant les valeurs et pour cela je pense qu'on peut faire des raisonnements différent que ceux qu'alpha et moi même avons employés.

A développer

:happy3:
Jord

[Anonyme]

Par exemple??

[Nightmare]

je ne sais pas à vrai dire j'ai toujours fait comme je l'ai fait ....

Si quelqu'un a une idée

:happy3:
Jord