Exercices suites et complexes

[lilou971]

Bonjour, j'ai un gros probléme avec un exercice je n'arrive absolument pas a la résoudre de plus je dois savoir faire ce type d'exercice pour le contrôle.J'aurais donc besoin que vous m'aidiez à le résoudre car le contrôle est mardi. Je remercie toutes les personnes qui apporteraient leur soutien.

Le plan complexe est muni d'un repére orthonormal direct (O;u;v). On prendra pour unité graphique 5cm.On pose Z(indice 0)=2 et pour tout entier naturel n:
Z(indice n+1)=((1+i)/2)Zn. On note A(indice n) le point du plant d'affixe Zn.

1/ calculer Z(1) Z(2) Z(3) Z(4) et vérifier que Z(4) est un nombre réel.
2/Pour tout entier naturel n, on pose U(indice n)=|Zn|.Justifier que la suite Un est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n:
Un=2(1/;)2)^n
3/ a partir de quel rang n(0) tous points A(n) appartient -ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
Etablir que, pour tout entier naturel n, Z(n+1)-Z(n)/Z(n)+1=i. En déduire la nature du triangle OA(n)A(n+1).

S'il vous plait vraiment j'ai un problème avec les suite et je dois avoir une bonne note a mon contrôle.

[swann_PCSI]

1°/ Tu sais donc que Zo=2, que Z(n+1)=((1+i)/2)*Zn
Pour calculer Z1 : Z1=Z(o+1) D'où : Z1= ((1+i)/2)*Zo. Or, tu connais Zo, donc tu peux le faire...
Ensuite, pour calculer Z2, Z3, et Z4, tu utilise la même technique : Z2=((1+i)/2)*Z1
De même pour Z3 et Z4.
Pour vérifier que ce dernier est réel, tu dois alors vérifier que sa partie imaginaire est nulle, c'est à dire qu'il n'apparait pas de i dans l'expression de Z4...
J'ai vérifié, Z4 est bien réel(attention à ne pas oublier que i²=-1)


2°/Tu sais que Un=|Zn|
Donc Un+1=|Zn+1|
Or, tu sais que Zn+1=((1+i)/2)*Zn
alors, Un+1=|((1+i)/2)*Zn|
Je te laisse utiliser l'une des propriétés du module pour arriver à l'expression de Un+1 sous la forme k*Un ( pour montrer que c'est bien une suite géométrique), et calculer k ( ici, c'est bien 1/;)2)

3°/Les points appartiennent au disque ssi leur distance à l'origine est inférieure ou égale au rayon du disque, autrement dit, ssi leur module est inférieur ou égal au rayon

Voila, mais saches que nous ne sommes pas là pour te donner les réponses mais pour te guider vers celles ci, ce que j'ai fais ici.

Bonne continuation, et bon courage!