Exercices limites de suites terminale

[Koalita]

Bonsoir, j'aimerais avoir de l'aide pour la 3 ème question de cet exercice qui me paraît insurmontable :cry: Mais je garde espoir :happy2:

VOici l'énoncé:
(Un) est la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, Un + 1= 1 + ( 1 / Un )

1/a/ Verifions que pour tout entier naturel n, Un>0
b/ Demontrons par recurrence que pour n1 :
3/2UN2.
2/ Notons f la fonction définie sur (O;plus l'infini crochets ouverts) par: f(x) = 1+ (1/x)
DEmontrons que pour tout réel x (3/2) et tout réel y(3/2); valeur absolue f(x)-f(y)(4/9)*valeur absolue(x-y) (1)

3/a. si la suite (Un) converge, quelle est sa limite L?
b.Deùmontrez, en utilisant (1) que pour tout n1:
valeur absolue Un+1-L(4/9)*valeur absolue U n-L
c/ déduisez-en par récurrence que :
valeur absolue Un-L(4/9)n-1* valeur absolue U1-L
demoNtrez alors que la suite (Un) converge vers L.

Merci !

[mathelot]

Voiçi quelques indications vite fait:

il faut suivre à la lettre les consignes de l'énoncé.

pour ce qui est de l'heuristique,



ce qui veut dire que tous les termes de la suite numérique,
sont à la fois des antécédents par f et des images par f.

la limite ne peut être doonc qu'un point fixe
l=f(l)

ie, à la fois un antécédent et une image confondue.

La démonstration générale repose sur le fait que dans un petit
voisinage du point fixe l,
la fonction f' dérivée, est en valeur absolue inférieure à k,
lui même strictement inférieur à 1



et donc que

la distance entre deux images successives ne cesse de se réduire dans un rapport de k, ce qui donne la convergence de la suite , convergence
de rapidité géomètrique