Exercice stat à 2 variables

[gal111]

Bonjour,
J'ai un exercice qui me pose souci encore une fois :mur:
Ne sachant pas utiliser correctement ce forum, je vais essayer d'être malgré tout clair dans l'énoncé...
Je dois définir le prix de vente où j'aurais la meilleur recette.
Prix (xi)....................... : 350 400 450 500 550 600
Acheteurs potentiels (yi) : 140 120 100 95 85 70

-Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (xi;yi) à 10-² près.
Pour cela, je pense que c'est bon, j'ai trouvé -0.98.

-En utilisant la méthode des moindres carrés, trouver l'équation y=ax+b (avec a déterminée à 10-² et b à 10-3)
la par contre, j'ai un gros doute sur mon résultat, surtout que c'est censé collé avec la question suivante...
j'ai trouvé a=0.17 et b=20.024.

Question suivante:

On désigne par r(x) la recette correspondant à la vente de y objet au prix unitaire x
En utilisant l'expression de y obtenue précédemment, montrer que:

r(x)=(-0.3x+226.524)x

La du coup.... euh... au secours :we:

Pour la dernière question, on verra plus tard :marteau:

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si vous représentez sur un graphique le valeurs de x et de y, vous aurez déjà une idée approximative de la fonction y = ax + b recherchée.
Une petite observation des valeurs données montre que quand x croit y décroit, donc le coefficient directeur, le terme a est forcément négatif.
Je ferai une petite remarque personnelle sur la précision demandée.
Les valeurs fournies ont 2 chiffres significatifs. Il est dont illusoire et même non justifié de fournir un résultat avec plus de 2 chiffres significatifs.

Pour la question concernant la recette, posez-vous la question : " si je vends y objets au prix unitaire x, quelle sera ma recette ?"

[gal111]

J'ai beau refaire le calcul pour a, je trouve toujours la même valeur positive...
Une petite piste svp ?

EDIT : à priori, le b ne serait pas bon non plus...

[Dlzlogic]

J'ai beau refaire le calcul pour a, je trouve toujours la même valeur positive...
Une petite piste svp ?

EDIT : à priori, le b ne serait pas bon non plus...

Donnez-moi votre démarche et votre calcul, et j'essaierai de voir où il y a un problème.

[gal111]

Je vais essayé d'être clair...
j'ai appliqué ce qu'il y a dans mon bouquin (mon seul support, mon seul prof :happy2: )

J'ai pour a:
(Avec 278250 qui est l’addition des prix multiplié par le nombre d'acheteur et 1397500 qui correspond à la somme des prix au carré)

a=(278250-(4x475x101.66))/(1397500-(4x475²))=0.17

pour b:
(y et x, valeur moyenne)

b= y-ax = 101.66-(0.17x475)=20.91

P.S: je me suis permis de vous laisser un mp :we:

[Dlzlogic]

Calcul de régression linéaire.
Soient une série de couples (xi, yi), on cherche la fonction de la forme y = ax + b, la plus probable, c'est à dire celle qui minimise la somme des carrés des différences entre la valeur y calculée et la valeur yi observée.
Cette technique est connue sous le nom de méthode des moindres carrés.
La somme des carrés sera minimum si sa dérivée s'annule. La démonstration dépasse le cadre de cette discussion.
Les coefficients a et b sont les solutions du système
a . S(xi) + b.n = S(yi)
a . S(xi²) + b. S(xi) = S(xi.yi)
où n est le nombre de couples
S(xi) est la somme des x
S(yi) est la somme des y
S(xi²) est la somme des carrés des x
S(xi.yi) est la somme des produits des x et y
a = (S(xi).S(yi) - n.S(xi.yi))/(n.S(xi²) - S(xi)²)
b = (S(yi) + a . S(xi))/n
(sauf erreur).

[gal111]

Je crois que je n'ai pas utilisé la bonne méthode !

Pour a, il faut faire covariance(x,y)/ écart-type x² ?

Dans ce cas, je trouve -0.26, enfin une valeur négative mais de la à dire qu'elle est bonne

J'ai l'impression de tourner en rond :marteau:

EDIT : croisement de post, je vais regarder de plus près :) merci !

[Dlzlogic]

Dans ce cas, je trouve -0.26, enfin une valeur négative mais de la à dire qu'elle est bonne

Ca c'est bon, moi, je trouve -0.263.
Entre temps, il faudrait définir ce qu'est la covariance.
C'est quoi l'écart-type de x² ? Ne serait-ce pas plutôt la variance de x ?
Il est certain que ce n'est pas facile quand les bouquins font référence à des termes qu'ils n'expliquent pas.

[hammana]

Ca c'est bon, moi, je trouve -0.263.
Entre temps, il faudrait définir ce qu'est la covariance.
C'est quoi l'écart-type de x² ? Ne serait-ce pas plutôt la variance de x ?
Il est certain que ce n'est pas facile quand les bouquins font référence à des termes qu'ils n'expliquent pas.

essaie de voir le site suivant
http://www.abcbourse.com/apprendre/19_variance_covariance.html

lavaleur a=-0.26 est correcte
tu dois trouver covariance =-1917

[gal111]

Bonjour,

Pour la covariance , c'est bon.

Pour a, à priori, ça doit être bon aussi.

J'ai fais covariance(x;y)/variance de x = -0.263

Donc c'est le bon résultat mais ce n'est pas la méthode des moindres carrés ça ???

Pour b, j'ai fais la moyenne de y- a fois la moyenne de x. = 226.595

donc y=-0.26x+226.595


Question suivante:
En utilisant l'expression de y obtenue précédemment, montrer que:

r(x)=(-0.3x+226.524)x


Bon, pour quelqu'un qui aime les pifomètres, on peut dire qu'il y a des airs entre les 2 équations. C'est normal qu'il y est cet écart ?

Pouvez-vous m'indiquer la marche à suivre ? :help:

[Dlzlogic]

essaie de voir le site suivant

Bonjour,
Notre ami Gal n'est pas du tout dans un contexte de statistique et encore moins de finance.
Par ailleurs, l'intitulé de l'exercice précise d'utiliser la méthode des moindres carrés.

Cette formule intègre des carrés dans le but d’éviter que les écarts positifs et les écarts négatifs par rapport à la moyenne ne s’annulent.

Cette affirmation est fausse. Cette formule "intègre des carrés" pour une raison strictement mathématique. Cela confirme le constat que plus un écart est grand, plus il est rare.
Dans le calcul de la variance et de l'écart-type, si la valeur admise comme moyenne résulte de la moyenne arithmétique et non d'une valeur connue par ailleurs, il faut diviser par (N-1) et non N.

[gal111]

Bonjour,
Notre ami Gal n'est pas du tout dans un contexte de statistique et encore moins de finance.
Par ailleurs, l'intitulé de l'exercice précise d'utiliser la méthode des moindres carrés.
Cette affirmation est fausse. Cette formule "intègre des carrés" pour une raison strictement mathématique. Cela confirme le constat que plus un écart est grand, plus il est rare.
Dans le calcul de la variance et de l'écart-type, si la valeur admise comme moyenne résulte de la moyenne arithmétique et non d'une valeur connue par ailleurs, il faut diviser par (N-1) et non N.

Je me demande si j'ai bien saisi la méthode des carrés ...

Bonjour,

Pour la covariance , c'est bon.

Pour a, à priori, ça doit être bon aussi.

J'ai fais covariance(x;y)/variance de x = -0.263

Donc c'est le bon résultat mais ce n'est pas la méthode des moindres carrés ça ???

Pour b, j'ai fais la moyenne de y- a fois la moyenne de x. = 226.595

donc y=-0.26x+226.595


Question suivante:
En utilisant l'expression de y obtenue précédemment, montrer que:

r(x)=(-0.3x+226.524)x


Bon, pour quelqu'un qui aime les pifomètres, on peut dire qu'il y a des airs entre les 2 équations. C'est normal qu'il y est cet écart ?

Pouvez-vous m'indiquer la marche à suivre ?

J'en suis toujours au même point, je ne trouve pas de solution :hein:

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour un tas de raisons, je ne donne pas la solution.
La formule covariance(x,y)/variance(x), je ne la connaissais pas, et de toute façon je n'applique jamais une formule que je ne comprend pas.
La méthode des moindres carrés est très utilisée en topométrie. Elle consiste à dire que la valeur la plus probable est celle qui minimise la somme des carrés des écarts. Ceci est démontré, mais dépasse le présent contexte.
J'ai donné la formule de calcul, sous forme d'un système de 2 équations à 2 inconnues, et sa résolution.

Je n'insisterai pas sur le nombre de chiffres significatifs qui me parait peu justifié.
-0.3 c'est "-0.263" arrondi à 1 chiffre après la virgule
la différence entre 226.595 et 226.524 n'est pas significative.

Question suivante:
En utilisant l'expression de y obtenue précédemment, montrer que:

r(x)=(-0.3x+226.524)x

A la précision près r(x) peut s'écrire r(x) = y * x, puisqu'on a calculé y = -0.253 + 225.595.
Pourquoi c'est vrai ? A vous de trouver. Il ne faut pas oublier que r représente la recette.

Je parie que la question suivante est : "Quel prix choisir pour avoir la meilleure recette ?"
[HS]C'est ce qui s'appelle "fixer le prix à la tête du client" :we: [/hs]

[gal111]

Bonjour,
Pour un tas de raisons, je ne donne pas la solution.
La formule covariance(x,y)/variance(x), je ne la connaissais pas, et de toute façon je n'applique jamais une formule que je ne comprend pas.
La méthode des moindres carrés est très utilisée en topométrie. Elle consiste à dire que la valeur la plus probable est celle qui minimise la somme des carrés des écarts. Ceci est démontré, mais dépasse le présent contexte.
J'ai donné la formule de calcul, sous forme d'un système de 2 équations à 2 inconnues, et sa résolution.

Je n'insisterai pas sur le nombre de chiffres significatifs qui me parait peu justifié.
-0.3 c'est "-0.263" arrondi à 1 chiffre après la virgule
la différence entre 226.595 et 226.524 n'est pas significative.
A la précision près r(x) peut s'écrire r(x) = y * x, puisqu'on a calculé y = -0.253 + 225.595.
Pourquoi c'est vrai ? A vous de trouver. Il ne faut pas oublier que r représente la recette.

Je parie que la question suivante est : "Quel prix choisir pour avoir la meilleure recette ?"
[HS]C'est ce qui s'appelle "fixer le prix à la tête du client" :we: [/hs]

Merci pour ces présisions, je vais essayer de boucler tout ça maintenant

[Skullkid]

Elle consiste à dire que la valeur la plus probable est celle qui minimise la somme des carrés des écarts. Ceci est démontré, mais dépasse le présent contexte.

Ceci n'a aucun sens tel quel (15000ème édition). T'es pas censé ne pas avoir le droit d'intervenir sur les topics parlant de stats ?

[Dlzlogic]

Ceci n'a aucun sens tel quel (15000ème édition). T'es pas censé ne pas avoir le droit d'intervenir sur les topics parlant de stats ?

Il ne s'agit pas de stat, mais de méthode des moindres carrés.
Si ma phrase n'a aucun sens, comment justifier la méthode des moindres carrés ?

[Skullkid]

La méthode des moindres carrés s'applique aussi en stats, et c'est le cas ici (les statistiques ne sont pas les sondages). On t'a expliqué mille fois les origines et les interprétations des moindres carrés, je vais pas répéter. Arrête d'intervenir sur les topics qui en parlent, tu es censé ne pas en avoir le droit. Arrête de parler de "valeur la plus probable" alors que tu ne comprends rien aux probas. Arrête de parler de la différence entre les dénominateurs n et n-1 dans les calculs d'écarts type, tu n'as rien compris à l'objet de cette différence.

[gal111]

Bien que cette discussion m'a l'air passionnante, je pourrais avoir une version pour l’explication des moindres carrés ?
D'avance merci :)

[gal111]

Je reviens vers vous suite à mon 2ème exercice.

Bon, si j'ai bien compris, j'ai déjà pas mal avancé :)

t(i) ...1 ....2 ....3 ....4 ....5 ....6 ....7 ....8 ....9 ....10

I(i) 648 718 766 811 837 864 890 915 927 950

On pose Ln(ti)=x(i) et Ln(Ii)=y(i)

Donc c'est évidement ce que j'ai fais.
Ensuite on me demande le coefficient de corrélation, l'équation de la droite de regression...

J'ai fais les calculs avec x(i) et y(i).

Ensuite on me demande de dessiner la droite de regression.

Mais, dans ma première question, on m'a demandé de représenter par un nuage de point la série avec pour origine (0;600)

Mais ma droit de regression ne peut pas y être dessiner avec cette échelle?!

(j'ai trouvé y=0.08x+6.47) 6,47 correspondrait à 647 ???

J'ai fais une erreur quelques part ?

Si oui, merci de me l'indiquer ! :++:

[Skullkid]

Les moindres carrés sont simplement un critère parmi d'autres pour comparer deux séries de valeurs. L'idée est d'assigner un nombre qui va mesurer l'écart entre deux séries de valeurs, dans le but en général de rechercher un minimum de ce nombre sous certaines contraintes (c'est-à-dire, étant donné une série A, on cherche la série B qui va minimiser l'écart entre A et B sous certaines contraintes). Pour mesurer l'écart entre deux séries, on choisit ce qu'on veut selon le problème. On peut choisir la somme des valeurs absolues des écarts, la somme des carrés des écarts, la somme des valeurs absolues des cubes des écarts, le maximum des écarts, ou que sais-je encore.

La grande majorité du temps on choisit la somme des carrés des écarts puisqu'elle présente de nombreuses propriétés intéressantes pour la recherche d'un minimum : elle est facilement dérivable et possède une formulation géométrique (qui relève du niveau supérieur donc je ne la détaillerai pas ici). Sauf détails supplémentaires sur le contexte (par exemple la confrontation entre des mesures entachées d'erreurs aléatoires et un modèle, qui est un contexte particulier, différent de celui de ton exercice, qui va faire intervenir d'autres notions qui peuvent éventuellement venir soutenir davantage l'utilisation des moindres carrés) il n'y aucune histoire de "valeur la plus probable", de "valeur vraie" ou autres. Dlzlogic est connu sur le forum pour dire n'importe quoi sur ce sujet, les modérateurs lui ont interdit d'intervenir sur les topics qui en parlent.

Sinon, pour ton exercice, on te demande de représenter la série (t,I), pas (x,y). La droite de régression que tu as trouvée (je n'ai pas vérifié les coefficients, je te fais confiance) correspond à (x,y). Puisque tu as estimé y = ax + b, tu en déduis une régression pour t et I en I = exp(ax + b) = exp(b)*t^a.