Exercice option maths expertes congruences

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Clara17
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Exercice option maths expertes congruences

par Clara17 » 04 Nov 2020, 19:26

Bonjour,

Voilà l'énoncé de mon exercice :
1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11
2. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^10 par 11
3. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^2009 +2009 par 11

Pour la question 1. j'ai trouvée que 2009=182x11+7 le reste est donc 7
Pour la question 2. j'ai trouvée que 2^10 = 93x11+1 le reste est donc 1
Et je bloque un peu sur la question 3. car je ne voie pas vraiment comment trouver le résultat, je me doute qu'il faut utiliser les question précédentes mais je n'arrive pas à savoir de quelle façon. J'ai eu l'idée de remplacer l'exposant par le calcul trouvé à la question 1. mais ça ne m'avance à rien. Ou alors je ne m'y prend pas comme il faut.
Quelqu'un pourrait m'aider ? :cote:
Modifié en dernier par Clara17 le 04 Nov 2020, 19:38, modifié 1 fois.



hdci
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par hdci » 04 Nov 2020, 19:36

Bonjour,
Si et , alors ?

On peut alors généraliser avec les exposants, ici avec une astuce puisqu'on a un modulo intéressant pour
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Clara17
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par Clara17 » 04 Nov 2020, 19:50

Ok donc 2^2009 ≡ 1 [11]
Au fait j'avais oublier une partie de la question la vraie question est : Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^2009 +2009 par 11
J'ai donc 2009 ≡ 7 [11] et 2^2009 ≡ 1 [11] donc je peux dire que 2^2009 + 2009 ≡ 8 [11] ?
Et le reste serait donc 8 ?

hdci
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par hdci » 04 Nov 2020, 21:47

Clara17 a écrit:Ok donc 2^2009 ≡ 1 [11]

Etes-vous sûre ? Car c'est . Donc , ...
Modifié en dernier par hdci le 05 Nov 2020, 21:53, modifié 1 fois.
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Clara17
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par Clara17 » 04 Nov 2020, 23:03

Je ne suis pas sure de comprendre, dans mon cour il y a marqué : Si a≡b[m] alors a^p≡b^p[m]
1^2009 vaut 1 donc où est le problème ?
Ou alors il faut que mon exposant soit un multiple de dix donc ce serait 2^2009 x 2 ≡ 1 [11]
je suis un peu perdue là...

hdci
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par hdci » 04 Nov 2020, 23:49

Clara17 a écrit:a≡b[m] alors a^p≡b^p[m]


C'est exact. Mais 2 est congru à 2 modulo 11, pas à 1. C'est qui est congru à 1.

Clara17 a écrit:ce serait 2^2009 x 2 ≡ 1 [11]

Oui c'est cela. Il s'agit alors de trouver entre 0 et 10 tel que ...

Si vous ne voyez pas, essayez chacun des 11 entiers (sachant que certains sont évidents) : comme 11 est premier il n'y a qu'un seul possible.
Modifié en dernier par hdci le 05 Nov 2020, 21:54, modifié 1 fois.
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Clara17
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par Clara17 » 05 Nov 2020, 20:53

Ok je crois avoir compris
Donc (2^2009 x 2 ) + 2009 ≡ 8 [11] ?

hdci
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par hdci » 05 Nov 2020, 21:59

Je viens de me rendre compte que j'avais mal érit mes formules Tex (l'exposant de 2 étaient censés être 10, puis 20, puis 30 dans mes posts précédents et cela apparaissait mal).

Reprenons pour : en l'écrivant ainsi, c'est peut^être plus simple que de l'écrire avec une division par deux, on obtient le fait que c'est congru à 512 modulo 11, donc à 6.

(On aurait pu voir que puis que ce qui donne le même résultat pour ).

Comme , on a donc (pas 8 en tout cas)
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Clara17
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par Clara17 » 05 Nov 2020, 23:18

J'ai vraiment du mal je suis désolée...
Mais si j'ai compris ce que vous avez fait puisque (2^10)^200 x 2^9 ≡ 6
2^2009 + 2009 ≡ 13 [11]
Or 0<r<10
13 = 11 x 1 + 2 Donc 2^2009 + 2009 ≡ 2 [11] et le reste serait 2
j'espère que je ne me suis pas encore trompée

hdci
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par hdci » 05 Nov 2020, 23:58

Cette fois-ci c'est correct!
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Clara17
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Re: Exercice option maths expertes congruences

par Clara17 » 06 Nov 2020, 20:59

Super merci beaucoup pour votre aide.

 

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