Exercice losange

[Rana Viridis]

Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à cet exercice svp ?
Soit MNPQ un losange tel que MP=180. On suppose qu'il existe un carré ABCD tel que AB=18, A ∈ [MN],
C ∈ [PQ] et D ∈ [QM]. Déterminer l'aire de MNPQ.

[JeuneMatheux]

Es-tu sure que MP= 180 et AB=18 ? As-tu fais un schéma pour t'aider ?

[Rana Viridis]

J'ai fait ce schéma, mais je ne trouve pas de piste qui puisse appliquer mes connaissances.

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[JeuneMatheux]

Tu sais que aire totale = aire(de MDAet de CPB)+aire(de NAB et de DQC)+airecarré
Je prend le triangle DMA pour te montrer :
Donc tu dois faire :
Tu dit que la diagonale du losange coupe DA en un point I par exemple
HauteurDMA= (180-18)/2=? Ensuite grace à cette hauteur, après avoir prouver que le triangle MIA est rectangle tu peux trouver la longeur MA avec le théorème de pythagore ensuite je pense que tu peux le faire :p

[Rana Viridis]

Je trouve après calcul que MA=9rac82
Je dois calculer quelles longueurs ensuite ? Je ne sais par ailleurs pas si les autres triangles ont la même aire.
En tout cas je sais que l'aire du carré est égale à 324.

[Pseuda]

Bonjour,

Es-tu sûre de tes longueurs ? Cela me paraît hautement impossible cette configuration avec MP = 180 et AB = 18. Cette impossibilité reste à démontrer.

Ensuite, il faut d'abord démontrer que le 4ème point B est bien sur le côté du losange, et que le centre du carré est aussi le centre du losange (ce qui ne me paraît pas évident non plus), en utilisant la symétrie de centre O, le centre du carré.

[Rana Viridis]

Oui j'ai bien lu l'énoncé et ce sont bien ces longueurs. Peut-être que je me suis trompée dans le schéma car pourtant les 4 points du carré appartiennent aux côtés du losange dans l'énoncé.

[Pseuda]

Bon admettons. Dans l'énoncé, les 4 points sont sur les côtés du losange, et (AB) // (MP) ? Dans ce cas, on démontre avec la symétrie de centre O centre du carré, que O est aussi le centre du losange, etc...

Tu peux alors utiliser Thalès : avec O centre du carré, I milieu de [AB], E point d'intersection de[MO] et de [AD], que valent les longueurs : MO ? AE ? ME? Tu peux en déduire ON.

De là, tu en déduis l'aire du losange.

Tout compte fait, c'est possible avec MP=180 et AB=18

[Rana Viridis]

Merci, j'ai donc trouvé que l'aire du losange est de 980.

[Pseuda]

Que trouves-tu pour ON ? De mon côté, j'ai trouvé que l'aire du losange faisait 1800.

[Rana Viridis]

En fait j'ai trouvé 1960, mais j'ai dû faire une erreur...
J'avais fait MI/MO=IA/ON
81/98=9/ON
ON=(98×9)/81=98/9
Est-ce que j'ai oublié quelque chose ?

[Rana Viridis]

En fait je me suis trompée, ON=10 et donc aire(losange)=1800