Exercice limite de suite TS

[metiss972]

Bonjour à tous,
Jai cet exercice à faire à la maison et je bloque dessus.
Merci davance pour votre aide!

On considère la fonction f définie sur R+ par f(x) = 2x+2/x+3

1) Etudiez les variations de f
>> On fait la dérivée ?

2) Déduisez que pour tout x appartent à[0;1], f(x) appartient à [0;1].

3) Dans toute suite on considère la suite (un) définie par u0 = 0 et u(n+1) = f(un) avec n appartenant à N.

a) Représentez graphiquement f dans un repère orthogonal d'unité graphique 10 cm.

>> Ca ca devrait aller..

b) Représenter graphiquement les 4 premiers termes de (un)

c) Que pouvez vous conjecturer quant au sens de variation de cette suite et de sa convergence

>> Pas compris ..

4a) Montrer que pour tout n appartenant à N , Un appartient à [0;1]

4b) Calculer pour tout n appartenant à N , un+1-un
c) en déduire le sens de variation de la suite (Un)
d) Montrer que la suite (Un) converge
e) Soit l la limite de la suite (Un) . Démontrez que l vérifie l = f(l). En déduire la valeur de l

5) On considère la suite (Vn) définie par Vn = un-1/un+2

a) Prouvez que (Vn) est géométrique et donnez ses éléments caractéristiques
b) Calculez V0 (>>OK) et exprimez Vn en fonction de n
c) Exprimez un en fonction de vn puis en fonction de n
d) déduire du 4c que la suite (un) converge et détérminez sa limite


Merci mille fois pour votre aide !

Matt

[titine]

On considère la fonction f définie sur R+ par f(x) = 2x+2/x+3

1) Etudiez les variations de f
>> On fait la dérivée ?

2) Déduisez que pour tout x appartent à[0;1], f(x) appartient à [0;1].

Je suppose que c'est plutôt f(x) = (2x+2)/(x+3)

1) oui tu calcules la dérivée

2) utilise le tableau de variations de f sur [0;1]

[metiss972]

Je suppose que c'est plutôt f(x) = (2x+2)/(x+3)

1) oui tu calcules la dérivée

2) utilise le tableau de variations de f sur [0;1]

D'accord merci pour votre aide et d'avoir répondu
Et pour la suite?

[titine]

3b) Trace la droite d'équation y=x
Place U0=0
Ensuite, pas facile à expliquer comme ça ... Vous avez dû le faire en classe ...
Tu obtiens un "escalier"
Tu dois constater que la suite semble croissante car U0 < U1 < U2 ...
Et qu'elle semble converger vers 1

4a) Utilise la question 2)

4b) Calcule U(n+1) - U(n)
Réduis au même dénominateur ...
Et tu dois prouver que U(n+1) - U(n) > 0 pour en déduire que la suite est croissante.

[metiss972]

3b) Trace la droite d'équation y=x
Place U0=0
Ensuite, pas facile à expliquer comme ça ... Vous avez dû le faire en classe ...
Tu obtiens un "escalier"
Tu dois constater que la suite semble croissante car U0 0 pour en déduire que la suite est croissante.

Merci beaucoup ..
Mais je bloque toujours sur les 5c et d !
Exprimer Un en fonction de Vn et de n
Puis la convergence

[titine]

Vn = (un-1)/(un+2)
Vn(un+2) = un-1
Vn un + 2Vn = un - 1
Vn un - un = -2Vn - 1
un (Vn - 1) = -2Vn - 1
un = (-2Vn - 1)/(Vn -1)
Et tu remplaces Vn par V0*q^n

Avec cette expression pas de problème pour déterminer la limite.