Exercice suite et limite

[sophie1592]

Bonjour, j'ai cette exercice à faire pour lundi. j'ai essayé de la faire, mais je ne suis pas sur de mes réponses et il y a des question que je ne comprend pas. Pourriez vous m'aider SVP.

On considère un disque de rayon 1. On colore la moitié du disque puis à chaque étape la moitié du secteur restant.

EDIT 2e fois : la pubication de scan de livre sur le domaine public est illégale.[url="http://img193.imageshack.us/img193/853/cercles.png"]"http://img193.imageshack.us/img193/853/cercles.png"[/url]

I- La suite des aires des secteurs ajoutés.

Pour chaque entier n>1, on note Un l’aire du secteur ajouté à l’étape n.

a- Calculer U1, U2, U3

b- Expliquer pourquoi la suite (Un) n>1 est géométrique ; quelle est sa raison ? Exprimer Un en fonction de n. Quel est le sens de variation de cette suite ?

c- Lorsque n augmente, les nombres Un semblent se rapprocher d’une valeur fixée. Quelle est cette valeur ?

d- Avec la calculatrice, déterminer un entier naturel n0 tel que Un01, on note An l’aire totale du domaine coloré à l’étape n, ainsi An= U1+U2+…+Un.

a- Démontrer que pour tout n>1, An=pi [1-(1/2) puissance n] et en déduire que An= pi-Un

b- Retrouver géométriquement cette dernière égalité.

c- Comment les nombres An se comportent-ils lorsque n prend de grandes valeurs ?

Mes réponses :
I- a) U1= ½ U2=1/4 U3= 1/8
b) La site Un est géométrique car on obtient chaque termes à partir du précédent par multiplication par une constante ( ici ½) . Sa raison est donc de ½.
Un= U1 *1/2puissance n-1
Un= ½ * ½ puissance n-1
q>1 et U1 >0 donc la suite est croissante.
c) Lorsque n augmente, les nombres Un semblent se rapprocher de 0.
d) et e) je ne comprends pas

II- a) Je n’arrive pas à démontrer
b) je pense avoir compris
c) Quand n prend de grande valeur les nombres An diminuent.
Pourriez-vous me corriger mes erreurs et m’aider pout les questions que je n’arrive pas.

[phryte]

Bonjour.

a) U1= ½ U2=1/4 U3= 1/8

Plutôt (le rayon = 1):
a) U1= Pi/2 U2=Pi/4 U3= Pi/8

[sophie1592]

Je ne comprends pas pourquoi c'est pi ?

[phryte]

On considère un disque de rayon 1

Donc l'aire du disque est : Pi*R^2 = Pi*1^2 = Pi
donc : U0=Pi

[sophie1592]

ah d'accord, j'ai compris. Merci
Pour la question b) je pense, que la suite est géométrique car chaque terme est obtenu à partir du précédent par multiplication par une constate ( Ici 1/2)
Pour le démontrer :
Un+1/Un=0.5
U2/U1=0.5
U3/U2=0.5
La raison est donc 1/2.

Un= Up*q puissance n-p
Un= u1*q puissance n-1
Un= pi/2 * 1/2 puissance n-1

pour la quesion c) Lorsque n augmente, les nombres Un semblent se rapprocher de 0.

Pourrier vous me corriger si j'ai fait des erreurs et m'adez pour le II ?

[phryte]

Exprimer Un en fonction de n

Un= pi/2 * 1/2 puissance n-1

Un=Pi*(1/2)^n

Lorsque n augmente, les nombres Un semblent se rapprocher de 0.

Oui : (1/2)^n --> 0 pour n --> + inf