Exercice fonction, exponentielle et logarithme népérien

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deadinsoul
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Exercice fonction, exponentielle et logarithme népérien

par deadinsoul » 15 Mar 2012, 13:57

Bonjour voici l'exercice:

Soient f et g les fonctions définies sur l'intervalle] 0, +oo[ par :
f(x) = ln x et g(x) = (ln x)².
On note C et C' les courbes représentatives de f et g dans un repère
orthogonal.

1°)a) Étudier le signe de (ln x)(1 - ln x) sur ]0, +oo[.

b) En déduire la position relative des deux courbes C et C' sur]0, +oo[

2°) Pour x appartenant à] 0, +oo[, M est le point de C d'abscisse x et N est le
point de C' de même abscisse.
Soit h la fonction définie sur]0, +oo par h(x) = f(x) - g(x).
a)Étudier les variations de la fonction h sur]0, +oo[.

b)En déduire que sur l'intervalle [1, e], la valeur maximale de la distance
MN est obtenue pour x = racine de e.

c)Résoudre dans] 0, +oo[ l'équation (ln x)2 - ln x = 1.

d)En déduire que, sur]0,1[U]e, +oo[, il existe deux réels a et b (a < b) pour
lesquels la distance MN est égale à 1.

Mes réponses:

1)a) (ln x)(1-ln x)=0
<=> ln x = 0 ou 1-ln x =0
<=> x = e(0) ou ln x = 1
<=> x = 1 ou x = e

signe de (ln x)(1-ln x) - 0 + 0 - avec 1 et e pour les deux 0.

(ln x)(1-ln x)= 0 x=0 ou x=e
(ln x)(1-ln x)<0 x]0;1[U]e;+oo[
(ln x)(1-ln x)>0 x ]1;e[

b) donc C est au dessus de C' pour x ]1;e[
et C' est au desssus de C pour x]0;1[U]e;+oo[

2)a)
h(x)= f(x)-g(x) = ln x - (ln x)²

h'(x)= 1/x - (2ln x)/x = (1-2ln x) / x
x>0 sur ]0;+oo[ donc h('x) a le signe de 1 - 2ln x
1 - 2ln x = 0
<=> 2ln x = 1
<=> ln x = 1/2
<=> x = e(1/2)

signe de h'(x) + 0 - avec e(1/2) pour le 0
Variation de h(x) croissant h(e(1/2))= 1/4 décroissant

b)max h(x)=1/4 (Vu sur le tableau de variation précédent) pour x=e(1/2) or y puisance(1/2) = racine de y
donc x= racine de e

c)(ln x)² - ln x = 1 <=> (ln x)² - ln x - 1 = 0

Soit X = ln x

X² - X - 1 = 0
DELTA = (-1)² - 4 * 1 * -1 = 5

X1 = (1 - racine de 5)/2
X2 = (1 + racne de 5)/2

X = ln x

x1 = e[(1 - racine de 5)/2]
x2 = e[(1 + racine de 5)/2]

d) et c'est ici que je bloque :help:

Merci d'avance !



Jota Be
Membre Irrationnel
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par Jota Be » 15 Mar 2012, 14:20

salut,
que représentent a et b ?

Manny06
Membre Complexe
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par Manny06 » 15 Mar 2012, 14:26

deadinsoul a écrit:Bonjour voici l'exercice:

Soient f et g les fonctions définies sur l'intervalle] 0, +oo[ par :
f(x) = ln x et g(x) = (ln x)².
On note C et C' les courbes représentatives de f et g dans un repère
orthogonal.

1°)a) Étudier le signe de (ln x)(1 - ln x) sur ]0, +oo[.

b) En déduire la position relative des deux courbes C et C' sur]0, +oo[

2°) Pour x appartenant à] 0, +oo[, M est le point de C d'abscisse x et N est le
point de C' de même abscisse.
Soit h la fonction définie sur]0, +oo par h(x) = f(x) - g(x).
a)Étudier les variations de la fonction h sur]0, +oo[.

b)En déduire que sur l'intervalle [1, e], la valeur maximale de la distance
MN est obtenue pour x = racine de e.

c)Résoudre dans] 0, +oo[ l'équation (ln x)2 - ln x = 1.

d)En déduire que, sur]0,1[U]e, +oo[, il existe deux réels a et b (a ln x = 0 ou 1-ln x =0
x = e(0) ou ln x = 1
x = 1 ou x = e

signe de (ln x)(1-ln x) - 0 + 0 - avec 1 et e pour les deux 0.

(ln x)(1-ln x)= 0 x=0 ou x=e
(ln x)(1-ln x)0 x ]1;e[

b) donc C est au dessus de C' pour x ]1;e[
et C' est au desssus de C pour x]0;1[U]e;+oo[

2)a)
h(x)= f(x)-g(x) = ln x - (ln x)²

h'(x)= 1/x - (2ln x)/x = (1-2ln x) / x
x>0 sur ]0;+oo[ donc h('x) a le signe de 1 - 2ln x
1 - 2ln x = 0
2ln x = 1
ln x = 1/2
x = e(1/2)

signe de h'(x) + 0 - avec e(1/2) pour le 0
Variation de h(x) croissant h(e(1/2))= 1/4 décroissant

b)max h(x)=1/4 (Vu sur le tableau de variation précédent) pour x=e(1/2) or y puisance(1/2) = racine de y
donc x= racine de e

c)(ln x)² - ln x = 1 (ln x)² - ln x - 1 = 0

Soit X = ln x

X² - X - 1 = 0
DELTA = (-1)² - 4 * 1 * -1 = 5

X1 = (1 - racine de 5)/2
X2 = (1 + racne de 5)/2

X = ln x

x1 = e[(1 - racine de 5)/2]
x2 = e[(1 + racine de 5)/2]

d) et c'est ici que je bloque :help:

Merci d'avance !

tout est bon
MN=|(lnx)²-lnx| sur ]0,1[U]e,+infini[ (lnx)²-lnx>0
donc MN=(lnx)²-lnx =1
donc tu as les points d'abscisses x1 et x2( remarque x1€]0,1[ et x2€]e,+infini[)

deadinsoul
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par deadinsoul » 15 Mar 2012, 14:27

a représente une coordonnée de C et b une coordonnée de C' ou inversement ?

Jota Be
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par Jota Be » 15 Mar 2012, 14:29

deadinsoul a écrit:a représente une coordonnée de C et b une coordonnée de C' ou inversement ?

Justement, je n'en sais rien, c'est pour cela que je t'ai demandé.
Je pense qu'il s'agit des deux abscisses comme Manny l'a suggéré.

deadinsoul
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par deadinsoul » 15 Mar 2012, 14:29

La réponse ne serait pas f(x)-g(x) = 1 soit la solution x2 trouvé précédement ?

deadinsoul
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par deadinsoul » 15 Mar 2012, 14:32

Manny06 a écrit:tout est bon
MN=|(lnx)²-lnx| sur ]0,1[U]e,+infini[ (lnx)²-lnx>0
donc MN=(lnx)²-lnx =1
donc tu as les points d'abscisses x1 et x2( remarque x1€]0,1[ et x2€]e,+infini[)


Ah oui et x1 aussi du coup ^^

Merci vous 2 : :we:

 

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