Exercice Equations différentielles

[Emmilia]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire, j'ai tout réussi sauf la dernière question, où j'arrive à trouver les équations de toutes les tangentes en alpha, mais je bloque après

1) On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) y'+y=x+1, y étant une fonction réelle de la variable réelle x et y' sa dérivée.

a/On pose z=y-x; écrivez l'équation différentielle (F) satisfaite par z.

b/Résolvez (F), puis (E).

2) On appelle falpha la solution de (E) telle que falpha (0)=alpha et Calpha la courbe représentative de falpha où alpha est un paramètre réel donné.

a/Démontrez que, pour tout alpha, la tangente à Calpha au point d'abscisse -1 passe par l'origine du repère.

b/Plus généralement, démontrez que toutes les tangentes aux courbes Calpha en un point d'abscisse x0 donnée se coupent sur C0 .


Donc pour la dernière question, j'arrive au résultat suivant:
x=x0+1 mais je ne vois pas ce que cela m'indique..
Merci d'avance pour toute aide et bonne journée

[maturin]

pourrais tu nous donner ce que tu trouves pour l'équation de ta tangente à Calpha en x0 ?

[Emmilia]

Bonjour,
Oui je trouve:


Dans les questions précédentes j'ai trouvé que:

Donc pour j'ai y=x.
J'ai remplacé y par x ce qui me permet au final d'obtenir
mais je ne vois pas ce que cela m'indique..

[maturin]

OK avec ton expression.

Après je te propose de partir de l'expression de ta famille de droite:

Si tu l'écris sous cette forme en regroupant les alpha:


Essaie de trouver x en fonction de x0 tel que cette droite passe par un point qui ne dépend pas de alpha.
Trouve le y correspondant. Ce point est-il sur C0 ?


Sinon ton raisonnement qui est le suivant est aussi correct.
Tu trouves le point d'intersection d'une droite tangeante avec C0.
Tu trouve que c'est en x=1+x0, y=1+x0, ce qui ne dépend pas de alpha donc toutes les tangeantes passent par ce point.

Le but est de te débarasser des alpha histoire de montrer que c'est vrai pour toutes tes tangeantes. Après tu peux construire ton raisonnement pour enlever ces alphas et conlcure sur le résultat demandé ou faire ton raisonnement en fonction du résultat puis constater qu'il n'y a plus d'alpha, à toi de voir, les deux solutions sont bonnes.

[Emmilia]

Ah oui d'accord merci beaucoup j'ai compris !