Exercice difficile arithmétique terminale s

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croake44
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Exercice difficile arithmétique terminale s

par croake44 » 07 Nov 2007, 02:21

Bonsoir tout le monde ! Pourriez-vous m'aider à résoudre la première question de cet exercice car après avoir mis la fonction sous forme de dérivée, je ne trouve pas de solution réelle. Des amis à moi ayant le même exercice à faire ne trouve pas non plus la solution. Et ce n'est pas pratique pour finir l'exercice :). Merci beaucoup !

Soit l'équation : (1) 4x3 + x2 + x - 3 = 0.

1. Montrer, en étudiant la fonction numérique f définie sur R par f(x) = 4x3 + x2 + x - 3 que l'équation (1) n'a qu'une
solution réelle,qui, de plus, appartient à l'intervalle ]0; 1[.

2. Montrer que, si l'équation (1) a une solution rationnelle p/q où p et q sont premiers entre eux, alors p divise 3
et q divise 4.
Quels sont les rationnels vérifiant cette dernière condition ?

3. Déterminer la solution rationnelle p/q de l'équation (1) et, après avoir mis en facteur (qx - p) dans l'expression
de f(x), achever la résolution de l'équation (1) dans le corps des complexes.



rene38
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par rene38 » 07 Nov 2007, 02:46

Bonsoir
croake44 a écrit:Bonsoir tout le monde ! Pourriez-vous m'aider à résoudre la première question de cet exercice
Il faut mettre en oeuvre le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intemédiaires).

Remarque : 12x²+2x+1 = x²+2x+1 + 11x² = (x+1)²+11x² > 0

croake44
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par croake44 » 07 Nov 2007, 13:34

rene38 a écrit:BonsoirIl faut mettre en oeuvre le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intemédiaires).

Remarque : 12x²+2x+1 = x²+2x+1 + 11x² = (x+1)²+11x² > 0

Bonjour,
Merci pour ton aide mais je n'ai encore jamais utilisé ce théorème. Aurait-tu une autre méthode plus simple pour résoudre ce problème? Merci d'avance.

rene38
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par rene38 » 07 Nov 2007, 13:47

Tu ne connais pas le TVI ? C'est pourtant LA méthode suggérée pour résoudre la question 1.

croake44
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par croake44 » 07 Nov 2007, 13:52

rene38 a écrit:Tu ne connais pas le TVI ? C'est pourtant LA méthode suggérée pour résoudre la question 1.

Non je n'ai jamais appris cette méthode, désolé. Mais si c'est la seule qui puisse résoudre cette question : pourriez-vous m'aider à la comprendre ? Merci.

rene38
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par rene38 » 07 Nov 2007, 14:02

Le théorème des valeurs intermédiaires
Soit[font=Courier New, Courier, mono] f [/font]une fonction.
Si[font=Courier New, Courier, mono] f[/font] est continue dans [font=Courier New, Courier, mono][a;b][/font], alors, pour tout réel [font=Courier New, Courier, mono]k[/font] compris entre [font=Courier New, Courier, mono]f(a)[/font] et [font=Courier New, Courier, mono]f(b)[/font], il existe au moins un réel [font=Courier New, Courier, mono]c[/font] de [font=Courier New, Courier, mono][a;b][/font] tel que [font=Courier New, Courier, mono]f(c)=k[/font] .


Le théorème de la bijection
Soit[font=Courier New, Courier, mono] f [/font]une fonction.
Si[font=Courier New, Courier, mono] f[/font] est continue et strictement monotone dans [font=Courier New, Courier, mono][a;b][/font], alors, pour tout réel [font=Courier New, Courier, mono]k[/font] compris entre [font=Courier New, Courier, mono]f(a)[/font] et [font=Courier New, Courier, mono]f(b)[/font], il existe un unique réel [font=Courier New, Courier, mono]c[/font] de [font=Courier New, Courier, mono][a;b][/font] tel que [font=Courier New, Courier, mono]f(c)=k[/font]

croake44
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par croake44 » 07 Nov 2007, 14:07

Oula ! J'ai jamais vu ça moi! Je sais pas si mon professeur est assez tordu pour nous faire utiliser un théorème que l'on ne connait pas :S .ça donne quoi pour répondre à la question 1.

rene38
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par rene38 » 07 Nov 2007, 14:53

On utilise le théorème de la bijection :

f est continue sur IR (fonction polynôme)
f est strictement croissante sur IR (dérivée >0)
f(0)=-3 ; f(1)=3 et 0 est dans [-3 ; 3]
donc
il existe un unique réel a de [0 ; 1] tel que f(a)=0

croake44
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par croake44 » 07 Nov 2007, 18:27

Merci beaucoup pour ton aide. Aurait tu une piste pour la première partie de la question 2 ? Cela fait une heure que je suis dessus mais je ne vois toujours pas comment m'y prendre.

rene38
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par rene38 » 07 Nov 2007, 20:26

Sauf erreur, en écrivant que p/q est solution de (1) on peut arriver à

4p²+pq+q²=3q³/p
Le 1er membre est un entier donc 3q³/p est entier
donc p | 3q³
et comme p et q sont premiers entre eux, ...

 

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