Un exercice pour lequel j'ai la réponse du livre (ancien cours du CNED) mais je me demande dans quelle mesure mon raisonnement est ou non en dehors des clous.
Énoncé:
Soit (un ) la suite définie par et .
a) Montrer par récurrence que (un ) minorée par 1 puis en déduire les variations
de ().
b) Montrer que la suite () ne peut être majorée. En déduire la limite
de ().
Ma réponse:
a) La suite () est minorée par 1 si elle est croissante car ().
Initialisation:
la proposition croissante est vraie au rang 1.
Hérédité:
On suppose tel que .
On a alors
or car .
Donc et la proposition est héréditaire.
Comme la proposition est héréditaire et que alors est croissante et minorée en 1.
b) On part du principe que est majorée ; on raisonne par l'absurde.
Soit tel que à partir d'un certain rang.
On aurait alors soit mais la limite est unique et si alors et la suite n'est donc pas majorée.
est croissante et non majorée, on en déduit qu'elle tend vers l'infini.
Merci d'avance de vos commentaires qui m'aideront à mieux structurer mes réponses.
Victor