Exercice TS - chap. continuité

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Victor75
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Exercice TS - chap. continuité

par Victor75 » 26 Fév 2024, 15:15

Bonjour,
Un exercice pour lequel j'ai la réponse du livre (ancien cours du CNED) mais je me demande dans quelle mesure mon raisonnement est ou non en dehors des clous.
Énoncé:
Soit (un ) la suite définie par et .
a) Montrer par récurrence que (un ) minorée par 1 puis en déduire les variations
de ().
b) Montrer que la suite () ne peut être majorée. En déduire la limite
de ().


Ma réponse:
a) La suite () est minorée par 1 si elle est croissante car ().
Initialisation:

la proposition croissante est vraie au rang 1.

Hérédité:
On suppose tel que .
On a alors
or car .
Donc et la proposition est héréditaire.
Comme la proposition est héréditaire et que alors est croissante et minorée en 1.

b) On part du principe que est majorée ; on raisonne par l'absurde.
Soit tel que à partir d'un certain rang.

On aurait alors soit mais la limite est unique et si alors et la suite n'est donc pas majorée.

est croissante et non majorée, on en déduit qu'elle tend vers l'infini.

Merci d'avance de vos commentaires qui m'aideront à mieux structurer mes réponses.
Victor



catamat
Membre Irrationnel
Messages: 1156
Enregistré le: 07 Mar 2021, 11:40

Re: Exercice TS - chap. continuité

par catamat » 26 Fév 2024, 17:50

Bonjour

Beaucoup de choses ne vont pas...

D'abord on demande de démontrer que la suite est minorée par 1 et ENSUITE de déduire qu'elle est coissante...

D'autre part pour l'hérédité il faut supposer que la propriété est vraie pour k (ici ) puis en déduire qu'elle est vraie pour k+1 donc que , bien sûr si on veut montrer la croissance par récurrence ce qui n'était pas la question posée.

Enfin pour le raisonnement par l'absurde, si elle est croissante et majorée elle admet une limite et en passant à la limite dans la définition de la suite on obtient une absurdité...

 

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