J'ai beaucoup de mal à réaliser cet exercice sur le calcul de 2;)/5 qui est vraiment très délicat, il fera un parfait défi pour les amateurs de problèmes trigonométriques et vectoriels
Merci d'avance à tous pour votre aide !
Voici l'énoncé :
A
Le réel
étant donné, on désigne par A et B les points du cercle trigonométrique C respectivement associés à et 2;).1) Montrer que I et B sont symétriques par rapport à (OA)
(Rappel : I est le point de C d'abscisse curviligne 0)
2) En dédurie que vecteur(OC) = vecteur(OI) + vecteur(OB) est colinéaire à vecteur(OA), puisque qu'il existe un réel
tel que :cos(2;)) =
x cos (;)) -1 et sin(2;)) = x sin(;))3) A l'aide de la relation cos²;) + sin²;) = 1, prouver que :
= 2 x cos(;))4) Déduire des résultats précédents que :
cos(2;)) = 2cos²;) - 1 et sin2;) = 2cos(;)) x sin
et qu'en particulier cos(4pi/5) = 2 cos²(2pi/5) - 1 [relation n°1]
B
1) A l'aide d'un rapporteur placer sur le cercle C les points I(0), A(2pi/5); B(4pi/5), C(6pi/5), D(8pi/5) et vérifier que les angles (OI, OA) ; (OA, OB) ; (OB, OC) ; (OC, OD) et (OD, OI) ont tous pour mesure 2pi/5
(IABCD) est un pentagone convexe régulier.
2) Montrer que chaque diamètre de C , passant par l'un des sommets du pentagone, est un axe de symétrie du pentagone.
3) Soit vecteur(u) tel que :
v=vecteur(...)
v(u) = vOI + vOA + vOB + vOC + vOD
où O est le centre de C.
Montrer que v(u) est à la fois colinéaire vOI et à vOA
En déduire v(u)= vecteur nul
4) Quelles sont les abscisses dans le repère (O, I, J), des sommets du pentagone ?
Déduire de 3) que cos(4pi/5) + cos(2pi/5) + 1/2 = 0 [relation n°2]
C
Déduire des relations n°1 et 2 que cos(2pi/5) est solution de l'équation :
4X² + 2X - 1 = 0 et en déduire la valeur de cos(2pi/5)
Encore une fois merci par avance !
Cordialement