Exercice Bezout

[luffy314]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire mais je suis bloqué a la 3ème question:
"1. Déterminer toutes les solutions (x,y) appartenant à Z² de l'équation 12x+33y=442
2. Déterminer toutes les solutions (x,y) appartenant à Z² de l'équation 12x+31y=442
3. En multipliant le jour de naissance de Bob par 12 et son mois de naissance par 31, on obtient deux nombres dont la somme est 442. Quel jour de l'année Bob est-il né?"

Pour la 1, je trouve que l'équation n'admet pas de solutions car le pgcd n'est pas multiple de 442.
Pour la 2, je trouve les couples (5746;-2210) et (5746+31k; -2210-12k)
Et pour la 3, je suppose qu'il faut se servir des résultats obtenus à la 2 mais 5746, c'est pas tellement un jour de naissance :hum: donc je ne vois pas comment faire.
Merci d'avance!

[Sh0nty]

Bonjour luffy314,

On a : x = 5746 + 31k donc x = 11 + 31(k + 185) = 11 +31q en posant q = k + 185.
Sous cette forme, c'est mieux...

Sh0nty

[luffy314]

Euh oui on a donc 12(11+31q) + 31y=442 mais même en développant, je ne vois pas où vous voulez en venir?

[Sh0nty]

De façon analogue, comment écrire "plus simplement" y?

Sh0nty

[luffy314]

y=-2210-12k donc y= 10-12(k+185)=10-12q
Donc 12(11+31q)+31(10-12q)=442
Et on peut simplifier directement les 12*31q et 31*-12q?
Ce qui nous donnerait le 11 en jour de naissance et le 10 en mois.

[Sh0nty]

:king2: :king2: :king2:

Sh0nty

[luffy314]

Cool!! :we: Merci beaucoup pour votre aide!

[luffy314]

Par contre, juste pour bien comprendre, comment vous avez fait pour trouver que x= 11+31(k+185)?
Parce que j'aurais pas trouver ça tout seul.

[Sh0nty]

Division euclidienne de 5746 par 31 :we:
Voilà pourquoi :
Tu as trouvé x = 5746 + 31k. Mais généralement, on le met sous la forme x = 31q + r avec [TEX]0\le r 31, tu fais la division euclidienne de 5746 par 31 pour le bon reste.
Or 5746 = 185x31 + 11 donc tu poses q = k+185 et tu arrives à x = 31q + 11 donc c'est bon!!

Sh0nty

[luffy314]

Ah d'accord! :id2: Merci beaucoup de m'avoir aidé, je comprends bien mieux maintenant!