Execice recurrence

[abou13]

salut j'ai un exercice et j'ai des difficultés . pouvez vous m'aider . il est trop dur pour moi
merci

on considere la fonction polynome P definie sur R par:
p(x)=x^3/3- x²/2 +x/6
a) verifier que pour tout reel x, P(x+1)-P(x)=x²
b) demontrer par recurrence sur n , que pour tout entier naturel n, P(n)€ N.
c) demonter par recurrence sur n, que pour tout entier naturel n, 1²+2²+....+n²=P(n+1)=n(n+1)(2n+1)/6
d) retrouver ce resultat en utilisant la question a).

sil vous plait je comprend rien

[olivthill]

a) verifier que pour tout reel x, P(x+1)-P(x)=x²

On remplace P(x+1) par (x+1)^3/3- (x+1)²/2 +(x+1)/6
Ce qui donne pour P(x+1)-P(x) :
(x+1)^3/3- (x+1)²/2 +(x+1)/6 - (x^3/3- x²/2 +x/6)
On développe, on réduit, et on doit trouver x².

b) demontrer par recurrence sur n , que pour tout entier naturel n, P(n);) N.

Un entier naturel est un nombre qui n'a pas de décimale, qui n'est pas fractionner par quelque chose.
La question précédente a permis de trouver que P(n+1) = P(n) +n²
Pour un raisonnement par récurrence il faut calculer P(0), ce qui se fait en remplaçant n par 0.
Si P(0) est un entier naturel. Alors P(1) est P(0) +1², donc P(1) est un entier naturel. P(2) = P(1)+2² donc P(2) est un entier naturel.
Comme à chaque fois, on ajoute n² qui est forcément un entier naturel, on peut dire que l'affirmation à démontrer est vrai.