Etude de U puis de exp(u)

[JO1990]

bonjour, c'est la première fois que je poste dans ce forum et j'espère que vous pourez m'aider car cette exercice me pose quelques problème:
voici l'énoncé:

PARTIE A:
p est la fonction polynôme définie par p(x)=x^3-3x
1.a) Démontrer que p est impaire.
[COLOR=B]p(-x)=-x^3+3x et -p(x)=-(x^3-3x)=-x^3+3x
[COLOR=e]donc p est impaire
b) Etudier le sens de variation de p. Etudier la limite en +infinie.
[COLOR=]p'(x)=3x²-3[/COLOR]
3x²-3>0 3x²>3 x²>1 -11
donc pour x appartient à ]-infinie;-1[ p'(x) est strictement positive donc p(x) est croisante sur ]-infinie;-1[
donc pour x appartient à [-1;1] p'(x) est strictement négative donc p(x) est décroisante sur [-1;1]
donc pour x appartient à ]1;+infinie[, p'(x) est strictement positive donc p(x) est croisante sur ]1;+infinie[
limite en +infinie: lim f(x)=+infinie
2. Résoudre les équations:
a) p(x)=0
[COLORue]p(x)=0 x^3-3x=0[/COLOR]
[CO=Blue]delta=b²-4ac=5 delta>0 donc 2 solutions[/COLOR]
[COLOlue]X1= [-(-3)-racine de 5]/2= 0.38 et X2=[-(-3)+racine de 5]/2= 2.62 [/COLOR]
donc S= {0.38;2.62}
b) p(x)=-2
x^3-3x=-2 donc x^3-3x+2=0
[COLORue]delta=b²-4ac=1 delta>0 donc 2 solutions[/COLOR]
X1=[-(-3)-racine de 1]/2=1 et X2=[-(-3)+racine de 1]/2=2
[COLOR=]S= {1;2}[/COLOR]
3. tracer la courbe P représentative de p.
je l'ai déja faite



PARTIE B:
f est la fonction définie sur IR par f(x)=exp(x^3-3x)
1)Etudier le sens de variation de f.
là j'ai un problème je n'arrive pas à faire la dérivée...
2)Etudier la limite de f en -infinie et en +infinie.
là aussi j'ai un soucis car les limites d'exponentielle j'y arrive pas ...
3)Résoudre les équations:
a) f(x)=1
b) f(x)=1/exp²


Si vous pouviez m'aider à résoudre cette exercice vous me sauveriez la vie s'il vous plait. :marteau: [/COLOR]

[rain]

PARTIE B:
1) f(x)=exp(p(x)) donc f'(x)=p'(x)*exp(p(x))
2) Pour cette question tu remarques que lim p(x)=lim x; quand x tend vers + ou - l'infini, donc lim f(x) quand x tend vers - infini est la même que lim exp(Y) quand Y tend vers - infini et réciproquement en + infini.

[JO1990]

Merci rain :we: je vais essaier de faire la suite
est ce que tu pourais vérifier mes réponses de la partie 1
merci d'avance

[rain]

Pour la PARTIE A, 1,b) Dans ton calcul : x²>1 <=> -11 n'a pas de sens.
x²>1 <=> (x<-1 et x>1)

[rain]

A la 2. b) p(x)=0 <=> x^3-3x=0 tu compliques, ton calcul est peut être juste je sais pas faut vérifier, mais il peut se faire en 2 lignes:
p(x)=0 <=> x^3-3x=0 <=> x=0 ou (x²-3=0)
Tu résous x²-3=0 ( sans discriminant !) x²=3 <=> x=racine de 3 ou - racine de 3

[JO1990]

haaa oui j'avais pas pensé à faire comme ça
d'aprés ce que tu m'as répondu j'aurais pour p(x)=0 3 solutions possible
S= {-racine de 3; 0; racine de 3}

j'imagine que je peux utiliser la même méthode pour p(x)=-2?

[rain]

les 3 solutions de p(x)=0 c'est ça par contre ton calcul est complétement faux pour p(x)=-2, je sais pas ce que t'as fait, je te montre.

tu dois résoudre x^3-3x+2=0, c'est une équation de degré 3, donc tu peux pas utilisé de discriminant, faut ce rémené a une de degré 2. Pour ça tu remarques que 1 est racine évidente dont il exite un polynome de degré 2 disons Q(x) tel que
p(x)=(x-1)*Q(x), Q(x)=ax²+bx+c tu réfléchis un peu et tu le trouves en disans que a=1 forcémant (en redévellopant) de même b=1 et c-2, donc Q(x)=x²+x-2 qui a -2 et 1 pour racines.Donc 1 et -2 sont les solutions.

[JO1990]

hoooooo oui merci beaucoup j'avais pas fait atention que c'était une équation du 3ème degré :marteau: ça explique mon bidouillage pour la courbe :ptdr: je vais pouvoir la corriger !!! merci
pour résoudre les équations:
f(x)=1 et f(x)=1/exp² je peux utiliser la même méthode que dans la partie A ?

[JO1990]

mais comment faut faire pour supprimer l'esponentielle car j'ai :
exp(x^3-3x)=1 donc pour redésendre x^3-3x faut faire comment? (ça doit pas se dire comme ça mais je sais pas comment m'expliquer :s)
*j'ai vraiment du mal avec les exponentielle :s*

[rain]

Et bien 2 possibilitées, soit tu connais le logarithme néperien et tu l'appliques à l'expression, soit tu te dis que exp(X)=1 <=> X=0, donc ici exp(x^3-3x)=1 <=>
x^3-3x=0, et ça c'est déjà résolu.( Pour le ln si tu connais, tu fais ln(exp(x))=x,et comme ln(1)=0 tu revient sur x^3-3x=0)

[JO1990]

:zen: non je ne connais pas encore les logarithmes népériens mais c'est bon j'ai trouvé .
Je te remercie pour ton aide précieuse...