[TleS] Étude de fonctions

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un petit devoir de maths pour la rentrée,
et un exercice me donne du fil à retordre ;
en voici l'énoncé :
V symbolise les racines carrées

"Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = 2x - V(1 + x²)
1) Etudier les variations de la fonction g
2) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution que l'on calculera
3) Déterminer la signe de g sur R
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) : 2V(1 + x²) - x. On note C sa courbe représentative dans un repère
4) Étudier les limites de f en +oo et -oo
5) Calculer f'(x)
6) Étudier les variations de la fonction f
7) Étudier la limite en -oo de f(x) + 3x. Quelle conséquence graphique peut-on déduire de ce résultat ?
8) Étudier la limite en +oo de f(x) - x. Quelle conséquence graphique peut-on déduire de ce résultat ?"

Voici ce que j'ai fait, mais je me pense mal parti ... :

1) Calcul de la dérivée, qui me donne :
g'(x) = 2 - 2x/2V(1 + x²) = (3x² + 4)/(2x² + 2 + x*V(1 + x²))
Mais je ne vois pas comment prouver à partir de cela
que g'(x) > 0 pour tout x

2) g(x) est continue et strictement croissante sur R
On en calcule les limites en +/- oo et on conclue.
Mais les limites me posent problème
Je trouve g(x) = (3x² - 1)/(2x + V(1 + x²))
Et à cause de la racine, je n'y arrive pas ...
Je trouve que la solution vaut environ 0,57

3) On peut lire le signe dans la tableau de variations fait
pour la question 1)

4) Ici, je me retrouve confronté au même problème
qu'en 2) avec f(x) = (3x² + 4)/(2V(1+x²) + x)

5) Ici je touve f'(x) = 2x/V(1 + x²) - 1
On voit que f'(x) : g(x) ÷ V(1 + x²)

6) V(1 + x²) > 0
Donc le signe de f'(x) est le même que celui de g(x)

7) et 8)
J'imagine qu'il faut trouver une limite de 0
Donc -3x et x sont asymptotes obliques,
Mais je n'y parviens pas ...

Voilà, un message long il est vrai,
j'en suis désolé ...
Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider

[hellow3]

Pour le 1. je comprend pas pourquoi tu multiplie par la quantitée conjuguée.
Mais simplement tout au même dénominateur

[Anonyme]

J'ai essayé,
ce qui me donne
g'(x) = (2V(1 + x²) - x)/V(1 + x²)
Le dénominateur étant positif,
peut-on résoudre l'équation
2V(1 + x²) - x = 0
et montrer qu'il n'y a aucune solution ?

Merci

[hellow3]

x²+1 > x²

V(x²+1) > V(x²) >= x

2V(x²+1) > V(x²+1) > x

Donc 2V(x²+1) - x >0

[Anonyme]

Ah, oui ... en effet ...
Peut-on se servir de ce résultat pour prouver que
les limites de g(x) en + et - oo sont
respectivement + et - oo,
ou faut-il passer par un autre raisonnement ?

[hellow3]

Oh, tu peux y aller plus bourrin, genre:


2x-V(1+x²) = 2x - V(x²(1/x²+1)) = 2x - V(x²) * V(1/x² + 1)

en +infini V(x²)=x
et en -infini V(x²)=-x

[Anonyme]

Je comprends ...
J'ai essayé de suivre un raisonnement
similaire pour f(x),
mais je ne parviens pas à trouver les bonnes limites ...
Je trouve ceci :
f(x) = 2x * V(1/x² + 1) - x
Soit f(x) : x * (2 * V (1/x² + 1) - 1)
Donc la limite en +infini serait +infini
et celle en -infini serait -infini,
ce qui contre-dit ma calculatrice ...

[hellow3]

en +infini:V(x²)=x
en - inifini: V(x²)=-x

Ca aide?

[Anonyme]

Dans le cas de g(x), je comprends bien,
mais pour f(x), je ne vois pas vraiment
comment faire ...

[hellow3]

f(x) = 2V(1+x²) - x = 2V(x²(1/x² + 1)) - x
= 2V(x²)V(1/x²+1) - x
= 2|x|V(1/x²+1)-x

en +infini:
= x (2V(1/x²+1) - 1) tend vers +infini.

en -infini:
= -x (2V(1/x²+1) + 1) tend vers +infini.

[Anonyme]

Ah, ok ...
ça y est, j'ai compris ...

J'arrive désormais à résoudre presque toutes
les questions suivantes, ;sauf la 7)
Je pense qu'il faut trouver une limite en -infini de 0,
mais je n'y parviens pas.
J'ai essayé avec le même raisonnement que tout à l'heure,
mais je ne trouve rien de convenable ...

[hellow3]

Multiplie par la quantitée conjuguée.
2V(1+x²) +2x est embêtant car les deux termes evoluent dans un sens différent.
2V(1+x²) -2x est plus sympathique.

[Anonyme]

Ah, ça y est, j'ai réussi.
On trouve des limites de 4/infini, donc 0.
Merci beaucoup pour ton aide précieuse et efficace.

[hellow3]

Ok.

Pas de problèmes.