[Tle] Etude de fonction

[Anonyme]

Bonjour à tous !

Je bute sur la question suivante :

Soit f:R->R une fonction continue telle que f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout
x,y appartenant à R

a) Montrer que f(0)=0 .

Que j'essaye de partir de x+y=0 ou de f(x) + f(y)=0, je bute toujours.
Je peux arriver à f(0)=f(y)+f(-y) , mais ca n'est égal à 0 que si la
focntion est impaire.

Une idée ?

Merci de votre aide !

[Anonyme]

Bonjour,

Tom écrivait :
> Soit f:R->R une fonction continue telle que f(x+y)=f(x)+f(y)
> pour tout x,y appartenant à R
>
> a) Montrer que f(0)=0 .

Remplace avec x=0 et y=0 dans l'équation fonctionnelle.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel a écrit :
> Bonjour,
>
> Tom écrivait :
>[color=green]
>>Soit f:R->R une fonction continue telle que f(x+y)=f(x)+f(y)
>>pour tout x,y appartenant à R
>>
>>a) Montrer que f(0)=0 .
>
>
> Remplace avec x=0 et y=0 dans l'équation fonctionnelle.[/color]

Ca fait
f(y)=f(0)+f(y) f(0)=f(y)-f(y)=0
Ou
f(x)=f(x)+f(0) f(0)=f(x)-f(x)=0

Cela suffit comme démonstration ?

Merci de votre aide en tout cas

[Anonyme]

"Tom" a écrit dans le message de
news:br77n5$5ak$1@news-reader5.wanadoo.fr...
>
> Que j'essaye de partir de x+y=0 ou de f(x) + f(y)=0, je bute toujours.
> Je peux arriver à f(0)=f(y)+f(-y) , mais ca n'est égal à 0 que si la
> focntion est impaire.

T'es pas loin : essaye avec y=0...

[Anonyme]

"Tom" a écrit dans le message de
news:br78mu$hca$1@news-reader1.wanadoo.fr...

> f(y)=f(0)+f(y) f(0)=f(y)-f(y)=0

Oui, ca suffit.

Ou alors tu écris : f(0+0) = f(0) + f(0), soit f(0) = 2 f(0), donc f(0) = ?

[Anonyme]

Le Duc a écrit :
> "Tom" a écrit dans le message de
> news:br78mu$hca$1@news-reader1.wanadoo.fr...
>
>[color=green]
>>f(y)=f(0)+f(y) f(0)=f(y)-f(y)=0
>
>
> Oui, ca suffit.
>
> Ou alors tu écris : f(0+0) = f(0) + f(0), soit f(0) = 2 f(0), donc f(0) = ?[/color]

Merci beaucoup !

[Anonyme]

Tom a écrit :

> Bonjour à tous !
>
> Je bute sur la question suivante :
>
> Soit f:R->R une fonction continue telle que f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout
> x,y appartenant à R
>
> a) Montrer que f(0)=0 .
>
> Que j'essaye de partir de x+y=0 ou de f(x) + f(y)=0, je bute toujours.
> Je peux arriver à f(0)=f(y)+f(-y) , mais ca n'est égal à 0 que si la
> focntion est impaire.

j'ai également des proble`mes dans la suite

a)2 Soit a=f(1). Montrer par récurrence que f(n)=a.n pour tout n
appartenant a` N .

J'ai fait

au rang 0
f(n)=f(0)=0
an=a*0=0

au rang n+1 pour un n vrai
f(n+1)=f(n)+f(1)
f(n+1)=an + a
f(n+1)=a(n+1)

L'hypothe`se est donc vérifée pour tout n sur N

a)3 Calculer f(n) pour n entier et inférieur a` 0

La` je ne vois pas du tout comment faire.

b) Montrer que pour tout n appartient a` N* f(1/n)=a*1/n. En déduire que
pour tout x= m/n appartenant a` Q , f(x)=ax

La` j'hésite je ne sais pas si j'ai le droit de dire cela :

Comme N* est inclus dans N alors f(n)=a.n est également vraie dans N*

Si c'est bon, alors on pose t=1/n

Au rang 0 (n=1)
f(t)=f(1/n)=f(1/1)=a
a*t=a*1/n=a*1/1=a

Au rang n+1 pour n vrai
f(t+1)=f(t)+f(1)
f(t+1)=a.t+a
f(t+1)=a(t+1)

Je n'arrive pas a en déduire que pour tout x=m/n appartenant a` Q on a
f(x)=a.x

C)Montrer que f(x)=a.x pour tout x sur R

Je n'y arrive pas sans doute la réponse a la réponse a 3 pourrait-elle
m'aider.



Merci

[Anonyme]

>
> a)3 Calculer f(n) pour n entier et inférieur a` 0
>
> La` je ne vois pas du tout comment faire.

Dans l'équation d'origine, fais y=-x, tu peux alors te ramener a n entier
supérieur a 0.

>
> b) Montrer que pour tout n appartient a` N* f(1/n)=a*1/n. En déduire que
> pour tout x= m/n appartenant a` Q , f(x)=ax
>
> La` j'hésite je ne sais pas si j'ai le droit de dire cela :
>
> Comme N* est inclus dans N alors f(n)=a.n est également vraie dans N*
>
> Si c'est bon, alors on pose t=1/n
>
> Au rang 0 (n=1)
> f(t)=f(1/n)=f(1/1)=a
> a*t=a*1/n=a*1/1=a
>
> Au rang n+1 pour n vrai
> f(t+1)=f(t)+f(1)
> f(t+1)=a.t+a
> f(t+1)=a(t+1)
>
> Je n'arrive pas a en déduire que pour tout x=m/n appartenant a` Q on a
> f(x)=a.x
>
Utilise la continuité de la fonction. Considere un irrationel x, prend une
suite de rationnels tendant vers x et écris f(y)=a*y pour y rationnel, puis
passe a la limite.

[Anonyme]

Le 10/12/03 15:56 , Tom a exprimé son opinion en les termes suivants:

Bonjour

> j'ai également des proble`mes dans la suite
>
> a)2 Soit a=f(1). Montrer par récurrence que f(n)=a.n pour tout n
> appartenant a` N .
>
> J'ai fait
>
> au rang 0
> f(n)=f(0)=0
> an=a*0=0
>
> au rang n+1 pour un n vrai
> f(n+1)=f(n)+f(1)
> f(n+1)=an + a
> f(n+1)=a(n+1)
>
> L'hypothe`se est donc vérifée pour tout n sur N

Ok.

> a)3 Calculer f(n) pour n entier et inférieur a` 0
>
> La` je ne vois pas du tout comment faire.

0=f(0)=f(x)+f(-x) donc f est impaire non? puis f(-n)=-f(n)

> b) Montrer que pour tout n appartient a` N* f(1/n)=a*1/n. En déduire
> que pour tout x= m/n appartenant a` Q , f(x)=ax
>
> La` j'hésite je ne sais pas si j'ai le droit de dire cela :
>
> Comme N* est inclus dans N alors f(n)=a.n est également vraie dans N*

Oui c'est vrai.

> Si c'est bon, alors on pose t=1/n
>
> Au rang 0 (n=1)
> f(t)=f(1/n)=f(1/1)=a
> a*t=a*1/n=a*1/1=a
>
> Au rang n+1 pour n vrai
> f(t+1)=f(t)+f(1)
> f(t+1)=a.t+a
> f(t+1)=a(t+1)

La il y a un pb car t+1 ne vaut pas 1/(n+1)....

Tu as 1=n*1/n donc f(1)=n*f(1/n) par récurrence sur n ce qui te donne le
résultat.

> Je n'arrive pas a en déduire que pour tout x=m/n appartenant a` Q on a
> f(x)=a.x

Tu fixes n et tu fais une recurrence sur m, d'abord positif puis tu
conclues par imparité de f.

> C)Montrer que f(x)=a.x pour tout x sur R
>
> Je n'y arrive pas sans doute la réponse a la réponse a 3 pourrait-elle
> m'aider.

Il faut songer que f est continue et que tout réel est limite d'une
suite de rationnels.

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Nous sommes esclaves des lois pour pouvoir être libre.
-Ciceron

Nous pensions que le monde était neuf parce que nous étions neufs dans
le monde.
-Paul Nizan

[Anonyme]

Denis a écrit :

> La il y a un pb car t+1 ne vaut pas 1/(n+1)....
>
> Tu as 1=n*1/n donc f(1)=n*f(1/n) par récurrence sur n ce qui te donne le
> résultat.

Je ne comprends pas vraiment :-/ . Ou est-ce que la récurrence rentre en
jeux ici ? Si je conside`re n vrai alors je peux écrire f(1/n)=a*1/n et
donc f(1)=n*f(1/n) comment est-ce que j'arrive a` f(1/(n+1))=a*1/(n+1) ?

[color=green]
>> Je n'arrive pas a en déduire que pour tout x=m/n appartenant a` Q on a
>> f(x)=a.x
>
>
> Tu fixes n et tu fais une recurrence sur m, d'abord positif puis tu
> conclues par imparité de f.[/color]
Au rang 0
f(m/n)=f(0)=0
a*(m/n)=0

Au rang n+1 pour n vraie
f((m+1)/n)=f(m/n)+f(1/n)
f((m+1)/n)=a*m/n+a/n
f((m+1)/n)=(a(m+1))/n

c'est ça ?
[color=green]
>> C)Montrer que f(x)=a.x pour tout x sur R
>>
>> Je n'y arrive pas sans doute la réponse a la réponse a 3 pourrait-elle
>> m'aider.
>
>
> Il faut songer que f est continue et que tout réel est limite d'une
> suite de rationnels.
>[/color]

[Anonyme]

Bonsoir,

Tu pourras aussi lire ce document très intéressant :
http://perso.wanadoo.fr/megamaths/ad/x-equafoncv2002.pdf

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Bonsoir,
f(0) est égal à f(x-x) pour tout x non nul, mais aussi à f(0+x) donc à
f(0)+f(x)... on peut donc écrire que :
si il existe x0 tel que f(x0) n'est pas nul, alors f(x0) vaut
f(0)+f(x0). ce qui d'après l'hypothése entraîne que f(0)=0.
si cet x0 n'esixte pas, alors f(x)=0 pour tout x, donc en particulier
pour x=0
PAUL

Tom a écrit:
> Bonjour à tous !
>
> Je bute sur la question suivante :
>
> Soit f:R->R une fonction continue telle que f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout
> x,y appartenant à R
>
> a) Montrer que f(0)=0 .
>
> Que j'essaye de partir de x+y=0 ou de f(x) + f(y)=0, je bute toujours.
> Je peux arriver à f(0)=f(y)+f(-y) , mais ca n'est égal à 0 que si la
> focntion est impaire.
>
> Une idée ?
>
> Merci de votre aide !
>