Etude de fonction exp

[nico033]

Bonjour, je m'entraine sur une étude de fonction, mais je suis bloqué a un moment, pourriez vous m'aider sil vous plait merci

soit la fonction f(x) définie sur IR par:
f(x) = (4x*exp(-x))/(1+exp(x).

on me demander de calculer f'(x) a l'aide de phi(x) = (2x-1)*exp(x) + x - 1.

donc voici ce que jai fais:
f'(x)= 4*[exp(-x)-xexp(-x)*(1+exp(x)) - (exp(x)) * (xexp(-x))] / (1+exp(x))²

f'(x) = 4*[(exp(-x)-xexp(-x) + 1 - 2x)/((1+exp(x))²] =
4*[(exp(-x)*(1-x)-2x+1)/((1+exp(x))²]

mais apres je fais comment? car je ne l'ai pas en fonction de phi(x)

[johnjohnjohn]

Bonjour, je m'entraine sur une étude de fonction, mais je suis bloqué a un moment, pourriez vous m'aider sil vous plait merci

soit la fonction f(x) définie sur IR par:
f(x) = (4x*exp(-x))/(1+exp(x).

on me demander de calculer f'(x) a l'aide de phi(x) = (2x-1)*exp(x) + x - 1.

donc voici ce que jai fais:
f'(x)= 4*[exp(-x)-xexp(-x)*(1+exp(x)) - (exp(x)) * (xexp(-x))] / (1+exp(x))²

f'(x) = 4*[(exp(-x)-xexp(-x) + 1 - 2x)/((1+exp(x))²] =
4*[(exp(-x)*(1-x)-2x+1)/((1+exp(x))²]

mais apres je fais comment? car je ne l'ai pas en fonction de phi(x)

Bon tu as bien bossé. Pourquoi ne pas multiplier ton expression par e(x) ( au numérateur comme au dénominateur bien entendu ... )

[nico033]

f '(x) = 4(e^(-x) - x.e^(-x) + 1 - 2x)/(1+e^(x))²

f '(x) = 4.e^(-x).(1 - x + (1 - 2x).e^x)/(1+e^(x))²

f '(x) = - 4.e^(-x).((2x-1).e^x + x - 1)/(1+e^(x))²

f '(x) = - 4.e^(-x).phi(x)/(1+e^(x))²

et il faut etudier les variations de la fonction f(x) apres,

je dirai la chose suivante:

vu que (1+e^(x))² est toujours positif pour tout x
-4.e^(-x) est négatif pour tout x alors f'(x) est du signe de phi (x).

or il fallait a la question d'avant deriver une fois et une deuxieme fois phi(x) jai trouvé:

phi'(x) = (1+2x)*exp(x)+1

et phi''(x) = (2x+3)*exp(x)

on demander aussi les variations de phi'(x)
et donc jai trouvé:
x - infini -3/2 +infini
- 0 +
decroissante 1-2exp(-3/2) croissante.

mais apres je fais comment pour etudier les variations de f(x), car cest ca ma question au depart

[johnjohnjohn]

f '(x) = 4(e^(-x) - x.e^(-x) + 1 - 2x)/(1+e^(x))²

f '(x) = 4.e^(-x).(1 - x + (1 - 2x).e^x)/(1+e^(x))²

f '(x) = - 4.e^(-x).((2x-1).e^x + x - 1)/(1+e^(x))²

f '(x) = - 4.e^(-x).phi(x)/(1+e^(x))²

et il faut etudier les variations de la fonction f(x) apres,

je dirai la chose suivante:

vu que (1+e^(x))² est toujours positif pour tout x
-4.e^(-x) est négatif pour tout x alors f'(x) est du signe de phi (x).

or il fallait a la question d'avant deriver une fois et une deuxieme fois phi(x) jai trouvé:

phi'(x) = (1+2x)*exp(x)+1

et phi''(x) = (2x+3)*exp(x)

on demander aussi les variations de phi'(x)
et donc jai trouvé:
x - infini -3/2 +infini
- 0 +
decroissante 1-2exp(-3/2) croissante.

mais apres je fais comment pour etudier les variations de f(x), car cest ca ma question au depart

En fait en étudiant les variations de phi, tu vas en déduire le signe de phi sur les différents intervalles de son ensemble de def. Et pas suite les variations de f