étude de la courbe de gauss

[ju972]

Bonjours , je suis en terminal S et j'ai du mal a faire cet exercice:

Soit k ∈ ]0 : +∞[ et sot gk la fonction définie sur R par : gk(x)=e^(-kx^(2))

On appelle courbe de gauss (ou gaussienne) la courbe représentative de la fonction gk dans un repère orthogonal. On note Ck cette courbe

1) Dresser le tableau de variation de la fonction gk (limites incluses).

2) justifier que Ck est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

3) soit k1 et k2 deux réels strictement positifs, montrer que si k1 … k2, alors Ck1 est au dessus de Ck2.

4) on appelle point d’inflexion de la courbe Ck tout point dont l’abscisse annule la fonction dérivée seconde gk’’
Déterminer les points d’inflexion de la courbe Ck

5) démontrer que, pour tout réel k, les points d’inflexion des gaussiennes Ck sont alignés.

---

J’ai essayer de commencer chaque question mais je n’arrive jamais à terminer. Ce que j’ai fait :

1) gk’(x)= -x* e^(-kx^(2))

gk(0)= e^(-k0^(2)) = e^0 =1

- pour k >0 :
gk(x)= e^(-kx^(2))= 1/( e^(kx^(2)))
lim en +∞ : e^(kx^(2)))= + ∞
donc lim en +∞ : 1/( e^(kx^(2))) = 0
Quand je fait le tableau de variation je trouve que la fonction est décroissante sur ]0 : +∞[

- pour k<0 k= -q

e^(-kx^(2)) = e^(-(-q)x^(2)) = e^(qx^(2))
lim en +∞ : e^(qx^(2)) = +∞
Quand je fait le tableau de variation je trouve que la fonction est croissante sur ]0 : +∞[

Mon problème c’est que dans la consigne on demande un tableau de variation de la fonction gk et pas 2. Donc je ne sais pas comment faire

2) on veut montre que e^(-kx^(2)) = e^(-k*(-x)^(2)) , mais je ne sais pas comment le trouver

3) ici j’ai essayé de le démontrer par récurrence mais je suis si c’est possible de passer de :
e^(-k1*x^(2)) > e^(-k2*x^(2))
à
e^(-k1*(x+1)^(2)) > e^(-k2*(x+1)^(2))

4) gk’(x)= -x* e^(-kx^(2))
gk’’(x)= -e^(-kx^(2))+x^2-xe^(-kx^(2))
-e^(-kx^(2))+x^2-xe^(-kx^(2)) =0

5) je pense qu’il y aura un raport entre la question 4 et la 2


merci beaucoup de m'aider dans mes recherches

[Lostounet]

Salut

La dérivée d'une fonction de la forme exp(u(x)) est: u'(x)*exp(u(x))
Ici u(x)=-kx^2
Ayant donc pour dérivée u'(x)=-2kx
La dérivée recherchée est donc -2kx exp(-kx^2) (tu as oublié des constantes donc).

En ce qui concerne l'allure de la courbe, as tu tracé cette courbe en cloche sur géogébra?

Tu peux supposer k>0 dans un premier temps et trouver les x tels que - 2kx exp(-kx^2)>0
Donc en divisant par exp(-kx^2) qui est jamais nul

....

Ensuite pour justifier que la courbe d'une fonction f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées on doit prouver que: f(x)=f(-x) pour tout x
(Cela traduit le fait que deux nombres opposés ont même image donc on a bien un axe de symétrie). On parle alors de fonction paire.

[ju972]

désolé pour le temps de réponse j'ai eu un problème avec internet

En effet en refaisant le calcule j'ai vu que j'avais oublié k dans la dérivé , merci beaucoup

En suite pour l'allure de la courbe, j'ai tracé sur géogébra et elle change selon le signe de k
"Tu peux supposer k>0 dans un premier temps et trouver les x tels que - 2kx exp(-kx^2)>0" pour ça je suis d'accord
Mais pour ça "Donc en divisant par exp(-kx^2) qui est jamais nul" j'ai pas compris c'est pour faire quoi


Pour la question d'apres
j'ai dit que pour x<0 x= -v et que pour x>0 x=v
gk(v)=e^(-k*(v)^(2))
gk(-v)=e^(-k*(-v)^(2))
= e^(-k*(-v)*(-v))
=e^(-k*(-v)^(2)) =gk(v)
gk(-v)=gk(v) donc Ck est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

*Je savais pas si je pouvais mettre -x tout simplement , donc est ce que je lise comme ça avec pour x<0 x= -v ou je mes directement x et -x ?

[Lostounet]

En suite pour l'allure de la courbe, j'ai tracé sur géogébra et elle change selon le signe de k
"Tu peux supposer k>0 dans un premier temps et trouver les x tels que - 2kx exp(-kx^2)>0" pour ça je suis d'accord
Mais pour ça "Donc en divisant par exp(-kx^2) qui est jamais nul" j'ai pas compris c'est pour faire quoi

- 2kx exp(-kx^2)>0
équivaut à
-2kx > 0
donc:
kx < 0

Donc si k est positif, et x négatif, alors la dérivée est positive (donc la fonction est croissante sur ]-infini;0]
Si k est positif et x positif, la dérivée est...

Ensuite tu peux traiter le cas k négatif (on parle surtout de "fonction croissante sur un intervalle")

Pour la question d'apres
j'ai dit que pour x<0 x= -v et que pour x>0 x=v
gk(v)=e^(-k*(v)^(2))
gk(-v)=e^(-k*(-v)^(2))
= e^(-k*(-v)*(-v))
=e^(-k*(-v)^(2)) =gk(v)
gk(-v)=gk(v) donc Ck est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

*Je savais pas si je pouvais mettre -x tout simplement , donc est ce que je lise comme ça avec pour x<0 x= -v ou je mes directement x et -x ?

J'ai pas trop compris le rôle de v...en fait tu dois prouver que pour tout x, gk(x) = gk(-x) (que x soit positif ou négatif, cela ne change rien... si x = 5, on doit avoir gk(5) = gk(-5) et si x = -5, on doit avoir gk(-5) = gk(5) donc on voit que c'est du pareil au même).

Je pense que ton calcul est bon sinon (la parité découle du "carré" qui est dedans qui absorbe le -).

[ju972]

merci pour la question d'après

et pour ça "Tu peux supposer k>0 dans un premier temps et trouver les x tels que - 2kx exp(-kx^2)>0" j'avais dit que je suis d'accord mais en reregardant sur géogébra je trouve 2kx exp(-kx^2)<0

[Lostounet]

Il est clair que le signe de 2kx exp(-kx^2) va dépendre ET du signe de k ET du signe de x!
Donc il faut que tu précises ce que tu veux dire...

Ton k est positif? Pour quel x on a alors 2kx exp(-kx^2) <0 ?
La courbe de Gauss est surnommée courbe en cloche... et une cloche c'est bossu: d'une part elle monte et d'autre part elle descend.
La dérivée devrait donc être tantôt positive tantôt négative...

[ju972]

comme on travail sur ]0 : +∞[ x>0
pour k>0
-2kx*e^(-kx^(2))<0

donc pour k<0
-2kx*e^(-kx^(2))>0

donc je reviens à mon même problème parce que je trouve que sur ]0 : +∞[ la courbe est croisante lorsque k<0 et la courbe est décroissante lorsque k>0 donc je sais pas comment faire un unique tableau

[Lostounet]

Je viens de lire l'énoncé et ils te disent que k>0...
Pour k<0 c'est pas vraiment une courbe de gauss.
Tu as toi-même marqué que k dans ]0 ;+infini[...

La courbe en cloche est définie sur R
Donc y'a pas deux tableaux mais un seul à faire...
Tu dois faire plus attention à ton énoncé! Moi j'ai une excuse (je vois 20 énoncés par jour) mais toi??? :p

[ju972]

haaa d'accord j'avais pas compris que c'était pas x qui est supérieur à 0 mais k
Vraiment désolé et merci beaucoup pour toute cette patience

[Lostounet]

haaa d'accord j'avais pas compris que c'était pas x qui est supérieur à 0 mais k
Vraiment désolé et merci beaucoup pour toute cette patience

Pas grave c'est l'heure tardive. Pourquoi tu ne dors pas toi?


J'ai hâte qu'on fasse la question 5) ella a l'air cool :p
Donc pour la 4 que proposes-tu

[ju972]

Il est 22h chez moi (je sais pas où tu habites) et je voulais avancer dans mon devoir comme je n'ai pas pu le faire ces derniers jours

Comme il est tarde in peut voir pour la suite demain si tu dois aller dormir
Encore merci

(à voir plus tard ):
pour la question 4 j'ai essayé de faire mais je ne suis pas très convaincu
gk'(x)= -2kx* e^(-kx^(2))

gk''(x)= -2k*(-2kx)*e^(-kx^(2))-2kx*e^(-kx^(2))
= 4k^(2)*x*e^(-kx^(2))-2kx*e^(-kx^(2))
= e^(-kx^(2))*(4k^(2)*x-2kx)
= xe^(-kx^(2))*(4k^(2)-2k)

4k^(2)-2k
Δ= (-2)^(2)-4*4*0
Δ=4
Δ> 0 donc il y a 2 racines

k'=(2-√(4))/(2*4)= 0
k''=(2+√(4))/(2*4)=4/8=1/2

xe^(-kx^(2))=0
x=0
je sais pas si c'est ça et si c'est suffisant

[Lostounet]

J'ai pas aimé le calcul de ta dérivée seconde...revois le calcul.

[ju972]

oui en effet

gk''(x)= -2k*e^(-kx^(2))-2kx*(-2kx)*e^(-kx^(2))
= -2k*e^(-kx^(2)) +(2kx)^(2)*e^(-kx^(2))
= e^(-kx^(2)) * (-2k+(2kx)^(2))

[ju972]

e^(-kx^(2))>0
(-2k+(2kx)^(2)=0

[ju972]

donc
-2k+(2kx)^(2)=0
(2kx)^(2)=2k
4k^(2)*x^(2)=2k
x^(2)=(2k)/(4k^(2))
x^(2)=1/2k
x=√(1/2k) ou x= - √(1/2k)

on demande de d éterminer les points d’inflexion de la courbe Ck donc pour la fonction gk
est c'est qu'il faut donner les coordonnées des point?
si c'est ça alors c'est (- √(1/2k) ; gk(- √(1/2k)) ) et( √(1/2k) ; gk(√(1/2k)) )

gk(- √(1/2k)) = e^(-k*(- √(1/2k))^(2))
=e^(-k*(1/2k))
=e^(-k/2k)
=e^(-1/2)

on trouve le même résultat pour gk(√(1/2k))

donc je sais pas si ça répond aussi à la question 5