Equations d'exponentielle

[toto_tom]

Bonsoir,

j'ai deux équations d'exponentielles à résoudre, mais je bute dès la 1ère.

Résoudre dans IR : e(3x)+e(x)-2=0

Je veux faire un changement de variable de manière à avoir un polynome de second degré mais je n'y arrive pas, et avec un polynome de 3e degré, je n'arriverai pas à calculer. Pouvez-vous m'aider?

[fibonacci]

Bonjour,



en posant l'équation devient:



il y a une racine évidente en effet

donc elle peut s'écrire sous forme de






on identifie les coefficients de même puissance etc,on résout par rapport à X

Bonne continuation.

remarque d'où x=0 comme solution

A+ dans la journée

[toto_tom]

Je comprends ce que vous avez fait mais je vois pas du tout en quoi ça m'aide pour résoudre l'équation, l'identification ne m'amène à rien... :marteau:
D'ailleurs, je n'aurais jamais pensé à faire comme ça c'est pour ça que ça me parait compliqué.

Concernant les racines évidentes, la 2e racine n'est pas -c/a?
Dans ce cas ça donne 0.

[Quidam]

Je comprends ce que vous avez fait mais je vois pas du tout en quoi ça m'aide pour résoudre l'équation, l'identification ne m'amène à rien...

Grosse erreur ! D'abord, c'est dans ton cours ! Résoudre une équation du troisième degré, c'est trouver les racines. Trouver les racines permet de factoriser, et réciproquement !

Le mieux qui puisse t'arriver, face à une équation du second degré, c'est qu'il y ait trois racines ! Si tu pars d'une formule comme P(x)=ax^3+bx²+cx+d, connaître une racine x1 te permet de factoriser un peu :
P(x)=(x-x1)*(a'x²+b'x+c')
connaître deux racines, x1 et x2, te permet de factoriser un peu plus :
P(x)=(x-x1)*(x-x2)*(a"x+b")
et finalement de connaître la troisième racine x3=-b"/a"
P(x)=a"(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Si tu connais seulement une racine x1 d'un polynôme du troisième degré, la factorisation qu'elle te permet diminue un peu la difficulté de ton problème car il ne te reste à trouver que deux racines seulement et ces deux racines sont celles d'un trinôme du second degré, ce que tu es censé savoir faire ! (en fait cela diminue énormément la difficulté, car de la résolution générale d'une équation du troisième degré, ce que tu ne sais pas faire, tu es ramené à la résolution d'une équation du second degré, ce que tu sais faire !)
Alors ne dis pas que cela ne mène à rien !
Fibonacci a 100% raison. Ce qu'il propose, ce n'est pas une astuce suprême que personne n'a jamais vue, c'est une astuce classique de chez classique qui est forcément dans ton cours !

Concernant les racines évidentes, la 2e racine n'est pas -c/a?

Non !
Dans une équation du deuxième degré, le produit des deux racines est égal à c/a et pas à -c/a. Si la première racine de ce trinôme ax²+bx+c était 1, alors la deuxième racine serait effectivement c/a. Mais ce n'est pas le cas (jusqu'à preuve du contraire : tu n'as rien démontré). La valeur 1, trouvée par Fibonacci n'est pas une racine du trinôme ax²+bx+c (sauf si tu le démontres), pour l'instant il est démontré que c'est une racine du polynôme du troisième degré duquel on est parti ; rien n'indique que 1 est également racine du trinôme en question !

[toto_tom]

Okay je n'avais pas vu le fait de factoriser par cette manière je n'avais pas vu le raisonnement en fait.
Donc l'identification m'a donné a=1 b=1 et c=2
donc

X^3+X-2=(X-1)(X²+X+2)

Mais je n'arrive pas à résoudre X²+X+2 car je trouve Delta négatif. Comment faire dans ce cas-là?

[Quidam]

Okay je n'avais pas vu le fait de factoriser par cette manière je n'avais pas vu le raisonnement en fait.
Donc l'identification m'a donné a=1 b=1 et c=2
donc

X^3+X-2=(X-1)(X²+X+2)

Mais je n'arrive pas à résoudre X²+X+2 car je trouve Delta négatif. Comment faire dans ce cas-là?

Mais n'oublie pas ce que tu es en train de faire ! Qu'es-tu en train de faire ? Le discriminant est négatif. Qu'est-ce que cela signifie par rapport à ce que tu es en train de faire ?

[toto_tom]

Ba...je sais pas trop...
je comprends pas en fait je crois!

[toto_tom]

J'ai compris qu'il fallait factoriser le trinome mais bon je bloque

[Quidam]

Ba...je sais pas trop...
je comprends pas en fait je crois!

Ouais, c'est ce que je pensais ! Si on trouve les racines d'un trinôme, on peutle factoriser. Si on arrive à le factoriser, on trouve immédiatement les racines.

Alors, qu'est-ce que l'on cherche ici. On cherche à résoudre une équation, c'est à dire trouver ses racines. On ne cherche pas à le factoriser ! Ton trinôme n'a pas de racines ! Eh bien parfait, tu as trouvé toutes les racines du trinôme : 0 racines ! Donc il n'y a qu'une seule racine du polynôme du troisième degré X^3+X-2 car X^3+X-2=(X-1)(X²+X+2) et X²+X+2 n'a pas de racines : X = 1.

Euh on a trouvé X, mais c'était quoi X ? Ah oui, . A présent que tu as trouvé la seule valeur possible de X, tu peux en déduire la valeur correspondante de x :

[toto_tom]

Okay merci j'ai compris!
En fait quand Fibonnacci m'a parlé du 0 je pensais que c'était une 2e racine du trinome ...
Donc en fait l'unique solution est 0.

La 2e équation est la suivante :

3e(2x)-4e(-2x) plus grand ou égal à -1.

Alors je pense qu'on peut remplacer le -1 par -e(0) et après on le passe de l'autr côté ce qui donne

3e(2x)-4e(-2x)+e(0) plus grand ou égal à 0.

Ensuite je peux normalement abaisser les degrés non?
Mais du coup qu'est-ce que je fais des 3 et -4?
Mes questions doivent vous paraître bêtes lol, mais bon c'est pas du tout le type d'équations qu'on faisait en exercice en cours, celles-là sont plus dures donc j'ai un peu de mal quoi...

[Quidam]

Okay merci j'ai compris!

Parfait !

En fait quand Fibonnacci m'a parlé du 0 je pensais que c'était une 2e racine du trinome ...

Si 0 est racine de ax²+bx+c, cela signifie que c=0 (et précisément, ce n'est pas le cas !) !!! Donc même si cela avait été le cas, comme le produit des racines est c/a (et pas -c/a), cela ne t'aurait pas permis de trouver l'autre comme étant égale à -c/a !!! Pour trouver l'autre racine, il aurait fallu résoudre x*0 = c/a, soit 0x = 0, ce qui ne te renseigne guère sur x !!! Et comme c n'était pas égal à 0, justement, il y avait un problème... Voilà pourquoi ta réponse était incompréhensible ! Passons...

La 2e équation est la suivante :

3e(2x)-4e(-2x) plus grand ou égal à -1.

Alors je pense qu'on peut remplacer le -1 par -e(0) et après on le passe de l'autr côté ce qui donne
3e(2x)-4e(-2x)+e(0) plus grand ou égal à 0.

Je suppose que tu voulais écrire :
3e^(2x)-4e^(-2x) plus grand ou égal à -1.
Soit :

Puis :


Pourquoi pas, mais quoi faire ensuite ?
En fait la seule méthode que je connais pour résoudre ce type d'équation est de faire un changement de variable pour se débarasser de l'exponentielle. Ici, le changement de variable peut être ou

Si tu poses l'équation devient :



On voit que le remplacement de 1 par n'apporte rien du tout !


En multipliant le tout par X² on obtient :


Ceci est une équation bicarrée que l'on résoud par un autre changement de variable et l'équation devient :
, enfin une équation familière.

L'autre changement de variable possible à partir de :



est


Et l'équation devient alors :

On sait que Y>0, donc en multipliant tout par Y on obtient :


C'est la même équation que ci-dessus () ! Normal puisque dans la première méthode, on avait fait deux changements de variables successifs : puis et cela revient à faire en une seule fois ! C'est ce que l'on a fait avec Y !

Bref, il ne te reste plus qu'à résoudre et à retrouver x ensuite, connaissant les solutions Y=...

A toi !

[toto_tom]

Oui par contre l'équation de départ est plus grand ou égal à -1 donc le polynome c'est 3Y²+Y-4 plus grand ou égal à 0.

Les solutions sont -4/3 et 1.

Donc ça veut dire que e(2x)=-4/3 ou e(2x)=1 c'est ça?

[Quidam]

Oui par contre l'équation de départ est plus grand ou égal à -1 donc le polynome c'est 3Y²+Y-4 plus grand ou égal à 0.

Très juste, j'ai fait une erreur de signe !

Donc ça veut dire que e(2x)=-4/3 ou e(2x)=1 c'est ça?

Oui, mais c'est mal dit. Cela veut dire qu'il faut à présent résoudre l'équation e(2x)=-4/3, d'une part, et résoudre l'équation e(2x)=1 d'autre part. Tu mettras ensemble toutes les solutions de la première équation et toutes les solutions de la seconde !
Vas-y !

[toto_tom]

e(2x)=-4/3 ce n'est pas possible car ln(-4/3) ça n'existe pas!
Pour la deuxième je trouve x=0

[Quidam]

e(2x)=-4/3 ce n'est pas possible car ln(-4/3) ça n'existe pas!
Pour la deuxième je trouve x=0

Mauvaise réponse ! Il faut plutôt dire n'a pas de solution car est positif quel que soit k ! Tu as en quelque sorte fait une étape de trop dans le raisonnement !

Mais il y a autre chose : certes l'équation n'a pas de solution ! Mais est-ce bien cela que tu cherches à faire ?
Il me semble que ton problème était :

Non ?

L'unique solution du problème "" est bien x=0, mais ce n'est pas ça, ton problème ! Est-il ?

[toto_tom]

Et bien il faut faire un tableau de signe est -1 est la valeur de x qui s'annule c'est ça?

[toto_tom]

Non non 0 est la valeur de x qui s'annule

[toto_tom]

Je pense que ce je vous dis est faux parce que ça a pas trop de logique mais bon :

en fait comme l'équation est égale à -1 quand x=0, alors dans ce cas, il faut faire le tableau de signe et chercher le signe entre -inf 0 et entre 0 + inf c'est ça?
Mais ça me paraît faux...

[Quidam]

Et bien il faut faire un tableau de signe est -1 est la valeur de x qui s'annule c'est ça?

Et bien il faut faire un tableau de signe et -1 est la valeur de x qui s'annule c'est ça?
Avec cette correction, c'est du français ! Mais ça ne veut rien dire. Tu as écrit "-1 est la valeur de x qui s'annule" !!! Es-tu conscient d'avoir écrit ça ? Tu délires ! Cela ne veut absolument rien dire !

[Quidam]

Je pense que ce je vous dis est faux parce que ça a pas trop de logique mais bon :

en fait comme l'équation est égale à -1 quand x=0, alors dans ce cas, il faut faire le tableau de signe et chercher le signe entre -inf 0 et entre 0 + inf c'est ça?
Mais ça me paraît faux...

Ce n'est pas faux ! Cela ne veut rien dire ! La première chose à faire, est d'appeler un chat un chat !
"L'équation est égale à -1" ne veut rien dire : une équation ne peut être égale à un nombre !