équations différentielles

[Jess19]

bonjour tout le monde,

j'ai un exercice sur les équations différentielles où je bloque un peu :help:

voici l'énoncé :

on cherche une fonction f définie et strictement positive sur R+ qui soit solution de l'équation différentielle (E) : y'=2y - y² et vérifie f(0) = 1.
1) montrer que f est solution de(E) si et seulement si la fonction g = 1/f est solution de (E') : y' = -2y +1
2a) résoudre (E')
b) calculer g(0) et en déduire g(t)
c) déterminer f(t) et vérifier que f(t) >0 sur R+

je pense que si j'arrive à résoudre la 1ère question j'arriverais surement à résoudre les suivantes mais je bloque vraiment pour la 1ère :briques:

merci d'avance pour votre aide :we:

[Monsieur23]

Si 1/f est solution de (E) [ Possible car f est à valeurs STRICTEMENT positives ]

Tu as (1/f)' = 2/f - 1/f²
-f'/f² = 2/f - 1/f²

On multiplie par f² :
-f' = 2f - 1

Et puis tu mutliplies par -1, si ça t'amuse.

Voilà :)

[Jess19]

si j'ai bien compris le truc on remplace seulement y par 1/f dans y'=2y - y² ?

oui mais après comment on fait pour la question 1

désolé je viens à peine de commencer les équations différencielles :mur:

[Monsieur23]

Bah là ça te fais la question 1 :

Si f solution de (E), alors g=1/f solution de (E')

Et inversement : si g est solution de (E'), alors f=1/g est solution de (E)

:)

[Jess19]

oui mais par exemple en cours quand on doit procéder de la même façon par exemple avec f-g

on a du prouver que (f-g)'(x) - (f-g)(x) = 0

je sais pas trop comment expliquer :marteau:

[Monsieur23]

Bah si tu as une question du genre :

Montrer que f solution de (E) équivaut à g solution de (E'), avec g = quelque chose en fonction de f, bah tu remplaces f par son expression en fonction de g dans (E), et tu montres que ça te donne l'équation (E').

Je ne comprend pas trop ta question là :/

[Jess19]

désolé je fais deux choses en même temps !

je vais essayer de le faire !

merci pour ta réponse si je bugg je te tiens au courant :p

[Jess19]

en fait c'est bizarre parce que nous en cours on fonctionne pas de la même façon

dans un exo qu'on a fait en cours par exemple, on devait Montrer qu'une fonction f est solution de E avec E : y' - y = 2e^x ssi f-g est solution de E' : y' - y = 0

premièrement on a démontrer que (f-g)'(x) - (f-g)(x) = 0 et ensuite que f'(x) - f(x) = 2e^x

c'est pour ça que là je comprend pas trop :briques:

[Jess19]

une fois que j'ai calculé g(0) je dois faire comment pour en déduire g(t) ??? :hein:

[lapras]

Tu sais résoudre les équation de la forrme :
y' = ay + b
y = k*e^(ax) - b/a

remplace x par 0

[Jess19]

dans cet énoncé il n'y a pas d'exponentielle l'énoncé est le suivant :


on cherche une fonction f définie et strictement positive sur R+ qui soit solution de l'équation différentielle (E) : y'=2y - y² et vérifie f(0) = 1.
1) montrer que f est solution de(E) si et seulement si la fonction g = 1/f est solution de (E') : y' = -2y +1
2a) résoudre (E')
b) calculer g(0) et en déduire g(t)
c) déterminer f(t) et vérifier que f(t) >0 sur R+


j'ai réussi à calculer g(0) j'ai trouvé 0 mais après comment je fais pour en déduire g(t) ?

[lapras]

Le but est de te rammener a une équa différentielle connue !
Donc avec une exponentielle !

[Jess19]

ok ça me faisait bizarre parce que nous on utilise par k mais C... :briques:

donc g(t) = C +1/2 c'est ça ?

[Jess19]

Up... :ptdr:

[Monsieur23]

y' = -2y +1

La solution générale est g(t) = constante * e^(-t/2) + 1/2

Tu veux g(0) = 1/(f(0)) = 1

... à toi de continuer

[Jess19]

pourquoi -1/2 c'est pas -2t plutot ?

par contre pour montrer que f(t) > 0 je dois dériver ?

[Monsieur23]

Si

C'est -2t

( J'ai complétement halluciné là ^^ )

Sinon, une exponentielle est toujours positive...
Vu que la constante est positive aussi... y'a ptét pas besoin de dériver :)

[Jess19]

:we: ok merci beaucoup

juste une dernière question

dans un autre exercice on me dit :

on note x(t) le degré d'avancement de la réaction à l'instant t, cad, le quotion de c(t) par la concentration molaire initiale de l'iodure qui vaut ici 0.104 mol.L-1 je dois vérifier que x(t) = 1-e^-0.33t

comment je dois faire ?

on me dit aussi en début d'énoncé qu'on émet l'hypothèe que la vitesse de formation dc/dt d'hydroxyde de tertiobutyle en fonction du temps vérifie l'ED (E) : dc/dt + 0.33c = 0.03432

je ne sais pas trop comment procéder ? :hein:

[Monsieur23]

Bah tu résous l'équa diff pour c.

Et ensuite, x(t) = c(t)/0.104

Tu trouveras la constante avec les conditions initiales de ta réaction chimique

[Jess19]

j'ai pas très bien compris pour x(t) = c(t)/0.104 ?