Équations Différentielles

[balife06]

Bonjour je suis en terminale sti2d et j'ai un exercice à faire, seulement je ne comprend pas, ça m'as l'air un peu plus difficile qu'en cour, si quelqu'un peu m'aider je lui en serai très reconnaissant.

L'énoncée est :

" Soit l'équation différentielle (E):y'+1/2y=b avec b un réel
f est solution de l'équation (E)
f(0)=3 et la limite de f lorsque x tend vers +inf est -1

Déterminer la valeur du réel b et l'expression de la fonction f "

[Manny06]

Bonjour je suis en terminale sti2d et j'ai un exercice à faire, seulement je ne comprend pas, ça m'as l'air un peu plus difficile qu'en cour, si quelqu'un peu m'aider je lui en serai très reconnaissant.

L'énoncée est :

" Soit l'équation différentielle (E):y'+1/2y=b avec b un réel
f est solution de l'équation (E)
f(0)=3 et la limite de f lorsque x tend vers +inf est -1

Déterminer la valeur du réel b et l'expression de la fonction f "

tu résous d'abord l'équation homogène y'+(1/2)y=0 (c'est du cours)
ensuite tu cherches une solution particulière de (E) (une fonction constante est solution
ensuite tu appliques les conditions sur f pour trouver "la solution"

[WillyCagnes]

bjr

solution generale
y' +y/2=0 à resoudre

y'= -y/2
y'/y=-1/2

dy/y=-dx/2

Ln |y| =-x/2 +cte

Y=k.exp(-x/2)

ensuite solution particulière, avec k variable
tu dérives Y
y'=dk.exp(-x/2) -k/2.exp(-x/2)dx

tu reportes y' et y dans l'quation dif (E)

d'ou dk.exp(-x/2)= bdx

tu fais l'integration et ensuite tu tiens compte de f(0)=3 et f(+ l'infini)=-1

[paquito]

y'+y/2=0 a pour solution générale y=ke^(-x/2). Une solution particulière est constante, donc y=C et y' =0, d'où C/2=b et C=2b.
solution générale y=2b+ke^(-x/2).
f(0)=2b+k=3; la limite de f est 2b=-1; reste à trouver b et k, ce que je te laisse faire et profite en pour revoir ton cours.

[balife06]

Tout d'abord merci à tous pour vos reponse, j'ai choisit l'explication de Manny06 qui me semble la plus clair par rapport à mes connaissances.

tu résous d'abord l'équation homogène y'+(1/2)y=0 (c'est du cours)
ensuite tu cherches une solution particulière de (E) (une fonction constante est solution
ensuite tu appliques les conditions sur f pour trouver "la solution"

Dites moi si j'ai juste, mais les solutions de l’équation sont Ce^((-1/2)x)
ensuite j'ai lu sur mon livre de révision de BAC que les solutions d'une équation "y'+ay=b" était f(x)=Ce^(-ax)+(b/a), je sais que y' = -y/2 mais je ne sais pas quoi faire avec tout ça ... :mur:

[Manny06]

Tout d'abord merci à tous pour vos reponse, j'ai choisit l'explication de Manny06 qui me semble la plus clair par rapport à mes connaissances.



Dites moi si j'ai juste, mais les solutions de l’équation sont Ce^((-1/2)x)
ensuite j'ai lu sur mon livre de révision de BAC que les solutions d'une équation "y'+ay=b" était f(x)=Ce^(-ax)+(b/a), je sais que y' = -y/2 mais je ne sais pas quoi faire avec tout ça ... :mur:

les solutions de y'+(1/2)y=0 sont de la forme g(x)=Ce^(-x/2)
une solution particulière de y'+(1/2)y=b est y=2b
les solutions de ton équation sont donc de la forme
f(x)=Ce^(-x/2)+2b
reste à calculer C et b
quand x tend vers = infini Ce^(-x/2) tend vers 0 donc f(x) tend vers 2 b soit b=-1/2
f(x)=Ce^(-x/2) -1 je te laisse écrire f(0)=3 pour trouver C

merci à Paquito d'avoir corrigé

[paquito]

ton cours te donne comme solutions y= C e(-x/2) + 2b (2b= b/(1/2)); donc en fait tu obtiens 2 équations: 2b=-1 et C+2b=3; résous le petit système et tu dois obtenir:
f(x) = 4e^(-x/2)-1 et b=-1/2

[balife06]

ah ok j'ai compris, merci bcp !