Equation simple mais dur

[sebibi29]

X^3-3x+1=0 .est ce que quelqun pourrait me dire comment résoudre cette equation .merci(je n'ai pas vu la methode dichométique) :we:

[sebibi29]

pesonne n'arive?? :doh: :triste: :cry: :briques:

[Anonyme]

pour resoudre cette equation utilise la methode de Cardan :

x^3 - 3x = -1
on pose x=u + v avec 3uv=3 (condition imposée)
donc uv=1

u^3 +3u^2v + 3uv^2 + v^3 -3u -3v=-1
u^3 + v^3 +3uv(u+v) - 3(u+v)=-1
u^3 + v^3 + (u+v)(3uv-3)=-1
u^3 + v^3 + 0 = -1

cad u^3 + v^3=-1 et uv = 1
on pose U=u^3 et V=v^3

U+V = -1
UV=1

U+1/U =-1
cela equivaut a dire que U^2 + U + 1 =0
[.......]
apres resolution on trouve comme solution:
(U=-0.5-iV3/2 et V=-0.5+iV3/2= U| ( U| a lire U barre, conjugué de U)

u^3=U et v^
cela equivaut a dire que
u=RC(U) ou u=j*RC(U) ou u=j^2*RC(U) ( RC=racine cubique)
v=RC(U|) ou v=j*RC(U|) ou v=j^2*RC(U|)
j etant une des deux racines cubiques de l'unité ( autre que 1) avec j^3=1 et j^2=j| et (j|)^3=1
( c'est a dire j = e^(i2pi/3) )
x=u+v
en eliminant les racines egales on obtient les 3 racines de l'equation :
x=RC(U) + RC(U|)
x=j*RC(U) + j^2 * RC(U|)
x=j^2 *RC(U) + j*RC(U|)

[sebibi29]

ok merci beaucoup