Equation et Polynôme

[Billball]

[FONT=Comic Sans MS]Hi,

Alors voilà, j'vous présente c'que j'ai déjà fais de 3 exos et j'aimerais un p'tit coup d'main là où il n'y a rien ^^'

Ex 1 : J'ai mis des couleurs pour s'y retrouver dans les (in)équations

x^4 + 12x² + 27 = 0 = 144 - 4*1*27 = 36 = 6²

{X² + 12X + 27 = 0}
{X = x²}

X' = (-12+6) / 2 = -3
X" = (-12-6) / 2 = -9

{X = -3 ou X = -9}
{X = x²}

-3 = x² ou -9 = x² -> impossible
S = { }

x + 1/x + 2 = 0
-> 1/x me bloque...

x - 2;)x + 1 = 0
-> bloque aussi... (le prof ous a dit "posez x = t)

= x + 2
x € Df 5x + 6 = 0
x = -6/5
Df = [-6/5; +inf[

On élève au carré :
5x + 6 = (x + 2)²
5x + 6 = x² + 4x + 4
-x² + x - 2 = 0

= 1 - 4*(-1)*(-2)
= -7

S = { }
-> Pas sûr car j'ai fais le discriminant, sinon c'est suffisant c'que j'ai écris pour dire qu'on peut élever au carré?!

x + 2
-x² + x - 2 0
S = { }

(x-2) / (x+3) x / (2x+1)
(x-2)*(2x+1) / (x+3)*(2x+1) x*(x+3) / (2x+1)*(x+3)
2x² + 3x - 2 / 2x² + 7x + 3 x² + 3x / 2x² + 7x + 3
x² - 2 / 2x² + 7x + 3 0

= 49 - 4*(2)*(3)
= 25
= 5

x' = -7 -5 / 4 = -3
x" = -7 +5 / 4 = 1/2

x² - 2 / 2(x+3)(x-1/2)
Avec le tableau de signe on trouve :
S = ]-inf; -3[U[-;)2; 2]U]1,5; +inf[

Ex 2 :

On considère le polynôme P/P(x) = x^5+x^3 -2x
Calculer P(1), P(-1) et P(0)

P(1) = 1^5+1^3 -2*(1)
P(1) = 1 + 1 - 2
P(1) = 0

P(-1) = (-1)^5+(-1)^3 -2*(-1)
P(-1) = -1 - 1 + 2
P(-1) = 0

P(0) = 0^5+0^3 -2*0
P(0) = 0

Déterminer les réels a,b et c tels que; pour tout x réel, on ait :
P(x) = x(x² - 1)(ax² + bx + c)
Donc on trouve cela :
P(x) = x(x² - 1)(x² + x + 2) -> J'met juste ça?!

En déduire les racines de P -> Comment vu qu'on les as au dessus?! J'dois poser ça x = 0 ou x²-1 = 0 ou x²+2+2 = 0 ??

Résoudre l'inéquation -> Si j'ai les racines dessus, ça devrait être bon =)

Ex 3 :

Déterminer une équation de la parabole (P) vérifiant les conditions suivantes :
(P) passe par les points E (4; 0) , F (1; 3/2) et G (-1; 5/2).
Pour cela on établira un système d'équation traduisant les données. -> Là j'suis paumé :briques:[/FONT]

[rene38]

Bonjour[font=Comic Sans MS]x + 1/x + 2 = 0
-> 1/x me bloque...
Vérifie que 0 n'est pas solution et multiplie les 2 membres par x

x - 2;)x + 1 = 0
-> bloque aussi... (le prof ous a dit "posez x = t) oui et donc x=(;)x)²=t²

= x + 2
x € Df 5x + 6 = 0
x = -6/5
Df = [-6/5; +inf[

On élève au carré :
5x + 6 = (x + 2)²
5x + 6 = x² + 4x + 4
-x² + x [color=red]- 2 = 0

[/color] x + 2
-x² + x - 2 0
S = { } Non

Ex 3 :

Déterminer une équation de la parabole (P) vérifiant les conditions suivantes :
(P) passe par les points E (4; 0) , F (1; 3/2) et G (-1; 5/2).
Pour cela on établira un système d'équation traduisant les données. -> Là j'suis paumé Une parabole a pour équation y=ax²+bx+c :
3 inconnues (a, b, c) 3 équations grâce aux 3 points
[/font]

[Billball]

Bonjour[font=Comic Sans MS]x + 1/x + 2 = 0
-> 1/x me bloque...
Vérifie que 0 n'est pas solution et multiplie les 2 membres par x

x - 2;)x + 1 = 0
-> bloque aussi... (le prof ous a dit "posez x = t) oui et donc x=(;)x)²=t²

= x + 2
x € Df 5x + 6 = 0
x = -6/5
Df = [-6/5; +inf[

On élève au carré :
5x + 6 = (x + 2)²
5x + 6 = x² + 4x + 4
-x² + x [color=red]- 2 = 0

[/color] x + 2
-x² + x - 2 0
S = { } Non

Ex 3 :

Déterminer une équation de la parabole (P) vérifiant les conditions suivantes :
(P) passe par les points E (4; 0) , F (1; 3/2) et G (-1; 5/2).
Pour cela on établira un système d'équation traduisant les données. -> Là j'suis paumé Une parabole a pour équation y=ax²+bx+c :
3 inconnues (a, b, c) 3 équations grâce aux 3 points
[/font]

Pour l'exo 3 j'te comprend pas, enfin si mais jvois pas comment faire =s
Sinon le reste est "exploitable"?

[rene38]

[font=Comic Sans MS]

Ex 3 éterminer une équation de la parabole (P) vérifiant les conditions suivantes :
(P) passe par les points E (4; 0) , F (1; 3/2) et G (-1; 5/2).
Pour cela on établira un système d'équations traduisant les données.

[/font]Laparabole (si elle existe) a pour équation y=ax²+bx+c

[font=Trebuchet MS][font=Verdana]- elle passe par E(4; 0) donc 0 = a×4²+b×4+c[/font][/font]
[font=Trebuchet MS][font=Verdana]- elle passe par F(1; 3/2) donc 3/2 = a×1²+b×1+c[/font][/font]
[font=Trebuchet MS][font=Verdana]- elle passe par G(-1; 5/2) donc 5/2 = a×(-1)²+b×(-1)+c[/font]
Il reste en principe à résoudre le système formé par ces 3 équations.[/font]
[font=Trebuchet MS]Or les 3 points sont alignés (ils sont sur une droite, pas sur une parabole) :[/font]
[font=Trebuchet MS]erreur d'énoncé.
[/font]

[Billball]

[font=Comic Sans MS][/font]Laparabole (si elle existe) a pour équation y=ax²+bx+c

[font=Trebuchet MS][font=Verdana]- elle passe par E(4; 0) donc 0 = a×4²+b×4+c[/font][/font]
[font=Trebuchet MS][font=Verdana]- elle passe par F(1; 3/2) donc 3/2 = a×1²+b×1+c[/font][/font]
[font=Trebuchet MS][font=Verdana]- elle passe par G(-1; 5/2) donc 5/2 = a×(-1)²+b×(-1)+c[/font]
Il reste en principe à résoudre le système formé par ces 3 équations.[/font]
[font=Trebuchet MS]Or les 3 points sont alignés (ils sont sur une droite, pas sur une parabole) :[/font]
[font=Trebuchet MS]erreur d'énoncé.
[/font]

Ex 3 éterminer une équation de la parabole (P) vérifiant les conditions suivantes :
(P) passe par les points E (4; 0) , F (1; 3/2) et G (-1; -5/2).
Pour cela on établira un système d'équations traduisant les données.

En effet, c'est -5/2 :bad:

y=ax²+bx+c

- elle passe par E(4; 0) donc 0 = a×4²+b×4+c
0 = 4a² + 4b + c
->
= 16 - 4*(4)*(1)
= 0
x' = -4 / 8 = 1/2
->
4(x-1/2)²

- elle passe par F(1; 3/2) donc 3/2 = a×1²+b×1+c
3/2 = a² + b + c
->
= 1² - 4*(1)*(1)
= -3

Pas de racine? :marteau:

- elle passe par G(-1; 5/2) donc 5/2 = a×(-1)²+b×(-1)+c
5/2 = -a² - b + c
->
= 1 - 4*(-1)*(1)
= 3
->
x' = 1 - 3 / 2
x" = 1 + 3 / 2
->
-(x - 1 - 3 / 2)(x + 1 + 3 / 2)

Mais en faite, jdois juste mettre sous forme d'équation ou?!

[rene38]

Ex 3 éterminer une équation de la parabole (P) vérifiant les conditions suivantes :
(P) passe par les points E (4; 0) , F (1; 3/2) et G (-1; -5/2).
Pour cela on établira un système d'équations traduisant les données.

En effet, c'est -5/2

y=ax²+bx+c

- elle passe par E(4; 0)
donc 0 = a×4²+b×4+c C'est 4 qui est au carré, pas a
0 = 4a² + 4b + c Faux

- elle passe par F(1; 3/2)
donc 3/2 = a×1²+b×1+c C'est 1 qui est au carré, pas a
3/2 = a² + b + c Faux

- elle passe par G(-1; 5/2) Relis l'énoncé que tu as toi-même corrigé
donc -5/2 = a×(-1)²+b×(-1)+c C'est (-1) qui est au carré, pas a
-5/2 = -a² - b + c Faux (et d'où vient ce signe - devant a² ?)

Tu dois obtenir 3 équations du 1er degré
formant un système d'inconnue (a, b, c)

[Billball]

"Laparabole (si elle existe) a pour équation y=ax²+bx+c

- elle passe par E(4; 0) donc 0 = a×4²+b×4+c
- elle passe par F(1; 3/2) donc 3/2 = a×1²+b×1+c
- elle passe par G(-1; 5/2) donc 5/2 = a×(-1)²+b×(-1)+c
Il reste en principe à résoudre le système formé par ces 3 équations.
Or les 3 points sont alignés (ils sont sur une droite, pas sur une parabole) :
erreur d'énoncé."

E(4; 0) donc 0 = 16a+4b+c
F(1; 3/2) donc 3/2 = a+b+c
G(-1; 5/2) donc 5/2 = -a-b+c

Alors là c'est bon?! :hum:
Et l'exercice est donc finit? :mur:

[rene38]

G(-1; 5/2) donc 5/2 = -a-b+c

Alors là c'est bon ?!
Et l'exercice est donc fini ?

Toujours pas :

Tu as écrit toi-même que G(-1; -5/2)
D'autre part (-1)² n'est pas égal à -1.

Lorsque tu auras corrigé cela,
il faudra résoudre le système pour avoir a, b et c

[Billball]

[FONT=Comic Sans MS]Oui désolé rene, a chaque fois je fais copier/coller et j'oublie de corriger -_-
Euh sinon pour le système, j'ai jamais fais d'ce genre, t'aurais pas un exemple ou? :--:

Et les autres exos sont :++: ?

*merci*[/FONT]

[rene38]

En additionnant membre à membre les 2 dernières équations,
on obtient la valeur de a+c.
On reporte cette valeur dans une de ces 2 équations
et on obtient la valeur de b.
Connaissant a+c, on écrit c en fonction de a ;
on reporte dans la 1ère équation
la valeur de c en fonction de a et la valeur de b :
on obtient une équation d'inconnue a que l'on résout.
Et sauf erreur on trouve que la parabole a pour équation

[Billball]

En additionnant membre à membre les 2 dernières équations,
on obtient la valeur de a+c.
On reporte cette valeur dans une de ces 2 équations
et on obtient la valeur de b.
Connaissant a+c, on écrit c en fonction de a ;
on reporte dans la 1ère équation
la valeur de c en fonction de a et la valeur de b :
on obtient une équation d'inconnue a que l'on résout.
Et sauf erreur on trouve que la parabole a pour équation

[FONT=Comic Sans MS]En additionnant membre à membre les 2 dernières équations,
on obtient la valeur de a+c.
->
{16a + 4b + c = 0}
{a + b + c = 3/2}
{a - b + c = -5/2}
=>
{a + b + c = 3/2}
{a - b + c = -5/2}
=> 2a + 2c = -1

{a + b + c = 3/2}
{-1/2 + b = 3/2}
=> b = 4/2 = 2

=> {c = 16a + 4b}
{c = 16a + 8}

Et la j'bloque :mur: Sinon niveau organisation, c'est pourri là nan? [/FONT]

[rene38]

Tu as trouvé :

donc

On reporte tout ça dans la première équation : :




et finalement

En résumé : ; ;
et donc la parabole a pour équation