Équation polynôme de degré 3

[pierrelouisbourgeois]

Bonsoir,

Je ne parviens pas à résoudre cette équation:



J'ai essayé de la factoriser mais rien n'y fait... Auriez-vous des conseils ?

Merci.

[chadok]

Bonjour,
C' est soit une racine évidente, soit la Méthode de Cardan :
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan
Mais c' est un peu long Tu es sûr de ton équation ?

[anthony_unac]

Salut chercher une racine évidente par exemple ou se fader la méthode de résolution classique de Cardan.

[anthony_unac]

Çà ne doit pas être loin de 0

[chadok]

Ou alors, méthode de secours :
tu calcules la dérivée, tu prouves que la fonction est strictement croissante, et tu cherches une approximation de la racine (dichotomie, méthode de Newton, etc.). Ça dépend de ce que t' a demandé ton prof

[anthony_unac]

Après vérification, la solution réelle est très très loin d'être une racine évidente : Sachant qu'elle est proche de 0 (comme convenue) tu peux en trouver une valeur approchée à l'aide de la méthode de Newton comme suggéré par chadock en prenant comme valeur d'initialisation

[Black Jack]

Bonsoir,

Je ne parviens pas à résoudre cette équation:



J'ai essayé de la factoriser mais rien n'y fait... Auriez-vous des conseils ?

Merci.

Salut,

Le meilleur conseil serait de vérifier ton équation.

D'où vient-elle ? ...
Donnée par le prof ou bien résultant de tes propres calculs sur un exercice dont tu n'as pas donné ici l'énoncé ou ... ?

Il n'y a pas de solution dite "évidente" ...
On peut alors résoudre ce genre d'équations (par exemple par la méthode de cardan) ou approcher les solutions par une étude des variations de fonction, mais de n'est pas souvent demandé en lycée.
... ce qui fait alors penser à une erreur dans l'équation donnée.

[pierrelouisbourgeois]

D'où vient-elle ? ...
Donnée par le prof ou bien résultant de tes propres calculs sur un exercice dont tu n'as pas donné ici l'énoncé ou ... ?

Il n'y a pas de solution dite "évidente" ...
On peut alors résoudre ce genre d'équations (par exemple par la méthode de cardan) ou approcher les solutions par une étude des variations de fonction, mais de n'est pas souvent demandé en lycée.
... ce qui fait alors penser à une erreur dans l'équation donnée.

En fait c'est une équation random, je voulais savoir si on pouvait factoriser tous les polynômes de degré 3 par un produit avec un polynôme de degré 2 mais il semble bien que non ducoup...

[pierrelouisbourgeois]

merci pour vos réponses!

[Black Jack]

D'où vient-elle ? ...
Donnée par le prof ou bien résultant de tes propres calculs sur un exercice dont tu n'as pas donné ici l'énoncé ou ... ?

Il n'y a pas de solution dite "évidente" ...
On peut alors résoudre ce genre d'équations (par exemple par la méthode de cardan) ou approcher les solutions par une étude des variations de fonction, mais de n'est pas souvent demandé en lycée.
... ce qui fait alors penser à une erreur dans l'équation donnée.

En fait c'est une équation random, je voulais savoir si on pouvait factoriser tous les polynômes de degré 3 par un produit avec un polynôme de degré 2 mais il semble bien que non ducoup...

Bien sûr qu'on peut ...

5x³ + 2x² + 10x + 1 = 0 (1)

x³ + 0,4x² + 2x + 0,2 = 0

En posant x = y - 2/15, on arrive à une équation du 3ème degré en y sans terme au carré ... qui, sauf erreur est :

y³ + (146/75)y - 209/3375 = 0 (2)

Equation de la forme y³ + p.y + q = 0 avec p = 146/75 et q = -209/3375 (qu'on résoud par la méthode de Cardan)

On calcule (q/2)² + (p/3)³ ... et ici on trouve que c'est > 0, il y a alors 1 seule solution réelle à (2), elle vaut :



Qu'on peut donc calculer exactement ...

Et la solution réelle de (1) est alors X1 = R - 2/15, qu'on peut calculer exactement.

Il suffit alors de faire la division euclidienne de (5x³ + 2x² + 10x + 1) par (x - (R - 2/15)) pour trouver le polynôme du second degré (Ax²+Bx+C) (Avec A, B et C connus exactement grace à la division euclidienne mentionnée) et tel que :

5x³ + 2x² + 10x + 1 = (Ax²+Bx+C) * (x - (R - 2/15)) avec A, B, C et R calculables exactement.

[chadok]

Et pour aller jusqu' au bout de la question, un peu d' Histoire
https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-mathematiciens/163-le-conflit-tartaglia-cardan