Ensembles - produit scalaire

par **Dinozzo13** » 12 Juil 2010, 10:40

Bonjour, j'aimerai savoir si l'ensemble recherché est bon, merci d'avance.

Soit ABC un triangle quelconque.
Déterminer l'ensemble

des points

du plan tels que :

En désignant G le centre de gravité du triangle, je trouve

, j'en déduis donc que

est un cercle dont le centre est le milieu de [GC] et de diamètre [GC].

par **benekire2** » 12 Juil 2010, 10:58

Salut !

Est-ce que on peut voir les calculs qui t'ont mené là stp ?

Merci :id:

par **Ben314** » 12 Juil 2010, 11:28

Pour que ce soit juste, il faut prendre comme centre le milieu de [AB] et pas celui de [CG] :

Pour simplifier une expression du type MA.MB (produit scalaire de vecteurs), on introduit le milieu I de [AB] :
MA.MB=(MI+IA).(MI+IB)=(MI+IA).(MI-IA)=MI²-IA²
et là, on est content car la lettre M n'apparait plus qu'une seule fois.

par **Dinozzo13** » 12 Juil 2010, 16:23

En effet, miracle, j'avais complètement oublié cette astuce.
@Benekire2 : voilà comment j'ai résonné :

Soit G le centre de gravité du triangle ABC, on a donc d'après la propriété fondamentale, pour tout M :

d'où :

est donc un cercle dont le centre est milieu de

et a pour diamètre

.

par **Ben314** » 12 Juil 2010, 17:40

-

erreur de signe...

par **Dinozzo13** » 12 Juil 2010, 18:35

Ah ok, donc on introduirait G=bar{(A,1),(B,1),(C,-1)}
Par rapport à ta méthode, comment finirait-on ?
Selon toi, les calcules ménent à :
MI²-IA²=CA.CB avec I milieu de [AB]
MI²=CA.CB+IA²
Mais comment savoir si CA.CB+IA²>0 ?

par **Ben314** » 12 Juil 2010, 18:58

Dinozzo13 a écrit:Ah ok, donc on introduirait G=bar{(A,1),(B,1),(C,-1)}
Par rapport à ta méthode, comment finirait-on ?
Selon toi, les calcules ménent à :
MI²-IA²=CA.CB avec I milieu de [AB]
MI²=CA.CB+IA²
Mais comment savoir si CA.CB+IA²>0 ?

Si tu part comme ça, le plus malin (de trés loin) est de constater que l'équation de départ MA.MB=CA.CB est clairement vérifiée par le point C, donc C vérifie aussi l'équation d'arrivée MI²=CA.CB+IA² ce qui signifie que CA.CB+IA²=CI² : Gamma est le cercle de centre I de rayon IC.

Avec ta méthode, on conclue aussi en trouvant que Gamma est le cercle de diamètre [CG] où G=bar{(A,1),(B,1),(C,-1)}. Sauf que si on regarde où est G (en utilisant la def des barycentres) on constate que AG=CB (vecteurs) donc que GABC est un parallélograme donc que le centre du cercle qui est le milieu de [CG] n'est autre que le milieu de [AB]

par **Dinozzo13** » 12 Juil 2010, 19:03

Ben314 a écrit:Si tu part comme ça, le plus malin (de trés loin) est de constater que l'équation de départ MA.MB=CA.CB est clairement vérifiée par le point C, donc C vérifie aussi l'équation d'arrivée MI²=CA.CB+IA² ce qui signifie que CA.CB+IA²=CI² : Gamma est le cercle de centre I de rayon IC.

Non, décidément, je ne saisis pas bien

par **Finrod** » 12 Juil 2010, 19:28

Dinozzo13 a écrit:Non, décidément, je ne saisis pas bien

Tu remplaces la dernière relation dans l'équation, tu obtiens MI²=CI²

par **Dinozzo13** » 12 Juil 2010, 19:52

ah voilà l'élémetn qui me manquais pour comprendre merci à vous deux :++:

par **Dinozzo13** » 14 Juil 2010, 15:41

Je rencontre encore quelque porblèmes avec le produit scalaire ^^

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et AC=6, Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
2MA²-MB²+MC²=63

Je pensais introduire dans 2MA²-MB² le point G barycentre des points (A,2) et (B,-1) mais je ne sais pas si cela va me mener à quelque chose.

par **Nightmare** » 14 Juil 2010, 15:50

Hello,

Dinozzo13 a écrit:
Je pensais introduire dans 2MA²-MB² le point G barycentre des points (A,2) et (B,-1) mais je ne sais pas si cela va me mener à quelque chose.

Ben je sais pas, tu as essayé? :lol3:

par **Dinozzo13** » 14 Juil 2010, 15:54

Slt !
Bah, si G=bar{(A,2),(B,-1)} alors 2MA²-MB²+MC²=63 devient MG²+2GA²-GB²+MC²=63

par **Dinozzo13** » 14 Juil 2010, 16:05

Ou alors plutôt si G=bar{(A,2),(B,-1),(C,1)} alors :
2MA²-MB²+MC²=63 devient 2MG²+2GA²-GB²+GC²=63, mais ce qui me pose problème c'est l'expression : 2GA²-GB²+GC²

par **Nightmare** » 14 Juil 2010, 16:20

Elle ne dépend plus de M a priori, donc 2GA²-GB²+GC² n'est qu'un certain nombre que tu peux appeler k (et le calculer si A, B et C sont donnés)

par **Dinozzo13** » 14 Juil 2010, 16:27

Si on pose donc : k=2GA²-GB²+GC² alors :
2MG²=63-k
Mais sachant que ABC est rectangle et que AB=3 et AC=6 peut-on savoir si k>63, k=63 ou k<63 ?

par **Sa Majesté** » 14 Juil 2010, 16:47

Au pire tu poses un repère centré sur A, tu calcules les coordonnées de G et tu calcules k
C'est pas très géométrique mais ça marche

par **Dinozzo13** » 14 Juil 2010, 17:02

Oui, mais l'ennui c'est que je veux le faire géométriquement

par **Dinozzo13** » 14 Juil 2010, 19:32

Bon, j'ai fini avec ta méthode, et ça a aboutit, merci !
J'aurai encore une question sur un petit exercice où on dit :

ABCD est un trapèze rectangle en A (...)

Connaissant la configuration de cette figure, je pense qu'il y a deux cas à traiter :
1°) (AB)//(DC)
2°) (AD)//(BC)
Ai-je bon ?

par **Ben314** » 14 Juil 2010, 23:41

Ben, effectivement, il y a deux cas de figure, mais ça me parrait un peu bizare comme énoncé d'exercice...
Tu as rien dans l'énoncé ou avant qui précise quels sont les cotés parallèles, du type une petite phrase dans un coin qui dirait "dans toute la feuille d'exo., lorsque l'on parlera d'un trapèse ABCD il sera sous entendu que (AB)//(CD)" ?

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