Ensembles et logique

[Hanaconda]

Bonsoir à tous.

Je suis tombée sur une série d'exos et je galère à résoudre quelques uns de ses exercices. Merci de bien vouloir me donner un coup de main.
Voici les énoncés :

Ensembles :

Soient A et B deux parties d'un ensemble E :

On considère dans P(E) l'équation : X U (A\B) = A
1) Mq si X est solution de l'équation alors AnB C X C A
2) Déduire l'ensemble de solutions de l'éq.
3) Déduire les solutions de l'éq. dans le cas : A={1,2,4} et B={1,3}

Récurrence :

On pose pour tout n € N*:

Tn = 1-2+3-4+....+((-1)^(n+1))n

1)a)Mq ( pour tt n € N*) T2n = -n
b) ( pour tt n € N*) T2n+1 = (n+1)
2) Mq (pour tt n € N*) (2^(n-1))(n+2) =< 3^n

Merci d'avance.
Bonne fin de soirée !

[capitaine nuggets]

Salut !

Exo 1. Qu'as-tu essayé de faire pour l'instant ? Où bloques-tu ?
As-tu pensé à faire des diagrammes de Venn (des dessins de patates quoi) ?

1. L'inclus est facile, je te laisse y réfléchir si besoin.
Pour montrer que , montre que . Déduis-en alors l'inclusion voulue.
De toute façon, il faut nécessairement se servir de l'équation .
Pour rappel : , où désigne le complémentaire de dans .
2. Montre qu'on a la réciproque de la question précédente : si est une partie de vérifiant alors .
Résoudre dans l'équation d'inconnue : revient finalement à résoudre la double inclusion .

Exo 2. tout est dit dans le titre de l'exercice : utilise le raisonnement par récurrence.
Sinon, il y a une méthode plus directe qui consiste à faire du "télescopage" pour les questions 1. et 2.
1. Montre que pour tout , . En remarquant que , déduis-en le résultat voulu.
2. Même idée en considérant .

[Hanaconda]

Excusez-moi, mais je ne vous suis pas. Je n'arrive pas à réellement capter vos propositions..je n'ai nulle idée sur la manière dont il faut procéder. Pourriez-vous être plus précis, svp?

[aviateur]

Bonjour pour t'aider un peu , je vais expliciter un peu plus le début de la solution donnée par @CNuggets:
Hypothèse: X U (A\B) = A
Conclusion:

1. L'inclus est facile, je te laisse y réfléchir si besoin.

raisonnement: soit x un élément quelconque de X. Alors x appartient X U (A\B) donc à A. On a montré que tout élément de X est dans A, autrement dit

Pour montrer que , montre que Déduis-en alors l'inclusion voulue......
De toute façon, il faut nécessairement se servir de l'équation . Pour rappel .....

Si tu montres (comme le suggère @Nuggets) alors on aura bien puisque évidement on a
Montrons alors que
D'abord une inclusion dans un sens est évidente: En effet, on sait que donc
Vérifions l'inclusion dans l'autre sens. Soit x un élément quelconque de . Bien entendu x appartient à A et à B et il faut montrer que x appartient à X. Mais d'après l'hypothèse A=X U (A\B), x appartient à X ou (non exclusif) à (A\B). Mais x n'est pas dans (A\B) car x appartient à B. Donc x appartient à X.....

Voilà tu peux continuer ainsi les indications de @Nugetts comme je viens de le faire... Mais pour avoir plus de recul, il est conseillé de faire des dessins ça aide bien....

[Hanaconda]

Merci beaucoup! J'arrive à beaucoup mieux comprendre.
Qu'en est-il des solutions?