Ensemble de points

[anna27]

Bonjour
Une aide car je ne vois pas :
soit Dp (1-p²)x+2py+(p²-2p-3)=0
Si E est l’ensemble des points du plan par lesquels passe au moins une droite Dp
Soit
M un point du plan quelle est la condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées (x;y) de M pour qu’il existe un réel p vérifiant M appartient à Dp.

Merci

[Ben314]

Salut,
Les réels x et y étant connus, ça :
c'est une équation du second (ou du premier) degrés en et ce qu'on te demande, c'est à quelle condition (sur x et y) cette équation admet au moins une solution.
C'est la traduction "calculatoire" de l'énoncé qui te dit qu'on prend un point fixé et qu'on cherche ensuite s'il existe un réel tel que .

Si tu ne voit pas par quel bout t'y prendre, fait comme d'habitude : commence par voir sur trois ou quatre exemples comment ça marche :
M:(1,-1) appartient-il à une des droite Dp ?
M:(2,1) appartient-il à une des droite Dp ?
M:(1,0) appartient-il à une des droite Dp ?
M:(1,1) appartient-il à une des droite Dp ?

[anna27]

Est ce que dire que la condition suivante est suffisante :
(1-x)p²+2p(y-2-3x+x=0

Cela répond à la question ?

[anna27]

Quelle set la nature géométrique de cet ensemble ?

merci

[Ben314]

Est ce que dire que la condition suivante est suffisante :
(1-x)p²+2p(y-2-3x+x=0
Cela répond à la question ?

Non :
Ce que tu doit dire, c'est que, étant donné un point fixé M:(x,y) du plan,
Il passe une droite Dp par le point M
si et seulement si
Il existe un réel p tel que

Mais ce n'est pas fini : cette condition "il existe un p tel que ...", tu doit arriver à l'écrire pour qu'elle ne parle plus que de x et de y.

Fait les exemples : ça t'éclairera

[anna27]

J'ai compris qu'avec les exemples on résout soit une équation de second degré, soit du premier ou soit il n'y a pas de solution.
Avec des valeurs effectivement on ne parle plus des x et y. mais comment faire une solution générale sans x et y ?
Merci

[Ben314]

Tu écrit ça :
Comme une équation du second degrés en p, c'est à dire sous la forme où a,b,c sont des quantités dépendant uniquement de x et y (et pas de p bien sûr).

Ensuite, à quelle condition une telle équation admet-elle au moins une solution ?
(attention à ne pas oublier le cas particulier où a=0)

[anna27]

Bonsoir
En fait avec l'équation de second degré eb p
On a un delta de 4y²-8y-16x+4x²+16
Si delta >0 deux solutions
Si <0 pas de solution
Si=0 Une solution

Le problème c'est qu'il faut une condition nécessaire et suffisante.

[Ben314]

Ca te fait bien une condition nécessaire et suffisante vu que, si a est non nul, une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation admette au moins une solution est que

Par contre (bis et répéta) attention à bien traiter correctement le cas particulier où a est nul...

[anna27]

Il faut donc que 4y²-8y-16x+4x²+16>=0 et
pour "a est nul" ; si x=1 p=1/(y-1) pourquoi cette condition?

[Dacu]

Bonjour
Une aide car je ne vois pas :
soit Dp (1-p²)x+2py+(p²-2p-3)=0
Si E est l’ensemble des points du plan par lesquels passe au moins une droite Dp
Soit
M un point du plan quelle est la condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées (x;y) de M pour qu’il existe un réel p vérifiant M appartient à Dp.

Merci

La condition nécessaire et suffisante est et ne pas exister en même temps et , cela signifie que exclusif le point .

[anna27]

On ne dois pas enlevé les couples : (1;-1) (-1,1) et (-1; -1) ?

[Ben314]

On ne dois pas enlevé les couples : (1;-1) (-1,1) et (-1; -1) ?

Pour quelle raison Dacu as-t-il "enlevé" le point (1,1) ?
Pour quelle raison veut tu "enlever" les point (1,-1) (-1,1 et (-1,-1) ?

[anna27]

Oui
Moi je pensait que seule la condition (y-1)²+(x-1)(x-3)>0 était suffisant non ?

[Ben314]

Moi je pensait que seule la condition (y-1)²+(x-1)(x-3)>0 était suffisant non ?

Comment as-tu procédé pour obtenir cette condition ?
Cette façon de procéder est-elle valable lorsque x=1 ?

[anna27]

J'ai transformé l'équation de Dp de tel sorte que j'ai une équation de second degré en p pour trouver la condition sur p pour que les coordonnées x,y de M appartiennent à Dp

[Ben314]

J'ai transformé l'équation de Dp de tel sorte que j'ai une équation de second degré en p pour trouver la condition sur p pour que les coordonnées x,y de M appartiennent à Dp

Ben justement non : ton équation n'est pas forcément du second degré : lorsque x=1 elle n'est que du premier degré, voire même de degré zéro lorsque x=1 et qu'en plus y=1.

[anna27]

Oui mais lorsque différent de 1
Alors la je suis perdu sur cette condition....

[anna27]

Il y aurait plusieurs conditions....
la question en demande une

[Ben314]

Non : il n'y a pas vraiment "plusieurs conditions", mais plutôt "plusieurs cas de figure".
- Soit x est différent de 1 et il faut (et il suffit) que le discriminant de l'équation du second degré soit positif ou nul pour qu'il y ait des solution.
- Soit x est égal à 1 et l'équation n'est que de degré 1 (écrit là) et elle a des solutions si et seulement si ...