Encadrer une suite

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !



Démontrer (pas par récurrence) que

Merci

[Monsieur23]

Aloha,

Qu'as-tu fais, où est-ce que ça te pose problème ?

[Titahn]

Salut,

tu as fait quoi ? Tu bloques où ?

Si tu bloques dès le début, commence par vérifier que ta propriété P : 3

[upium666]

Salut,

tu as fait quoi ? Tu bloques où ?

Si tu bloques dès le début, commence par vérifier que ta propriété P : 3<Un<=9 est vraie pour n=0, et ensuite en supposant que P est vrai, essaie de montrer que 3<Un+1<=9

Justement : Pas par récurrence !

[upium666]

Aloha,

Qu'as-tu fais, où est-ce que ça te pose problème ?

Je ne sais pas par quoi commencer, et je ne veux pas expliciter la suite

[Monsieur23]

Pourquoi veux-tu le faire autrement que par récurrence?
A priori, pour une suite définie par récurrence, c'est la méthode la plus adaptée.

Quels théorèmes sur les suites as-tu à ta disposition ?
On peut dire que f : x -> x/3 +2 est croissante, donc (u_n) est monotone.

[upium666]

Pourquoi veux-tu le faire autrement que par récurrence?
A priori, pour une suite définie par récurrence, c'est la méthode la plus adaptée.

Parce que mon professeur a exigé qu'on essaie de le faire sans récurrence, car la récurrence est un moyen aisé de démonstration
Mon professeur est un amoureux des démonstrations élémentaires
C'est pour ça :ptdr:

[Monsieur23]

Ok. Donc comme j'ai dit, f est croissante, donc (u_n) est monotone : en calculant u_0 et u_1, on voit qu'elle est décroissante. Ça règle le problème pour la partie <9.

Pour l'autre, suppose que tu as un n tel que u_n < 3.
Qu'est ce que tu peux dire de u_{n+1} ?

Edit : Nota : je ne sais pas quelle démo ton prof attend, mais celle que je te propose est BEAUCOUP moins élémentaire qu'une récurrence…

[upium666]

C'est bon
Finalement il attendait juste qu'on se casse la tête pour nous tourner vers cette méthode xD

Merci ;)