2 droites parallèles

[dragonou]

Bonsoir , supposons que j'ai 2 droites :

D1
x-z-2 = 0
y+3z+1=0

D2
x+2y+z-4=0
3x+3y+2z-7=0

Je dois prouver qu'elles sont parallèles .

Bon moi dans ma tête je pense qu'il faudrait trouver leurs 2 vecteurs directeurs et montrer qu'ils sont colinéaires vous en dites quoi?

Simplement je sais pas comment trouver le vecteur directeur d'une des droites , si c'était y = x+5 , le vecteur directeur serait u(1,1) , mais là j'ai un système de 2 équations , il est où le vecteur directeur ?

merci

[Elwyn]

Et en comparant les coefficients directeurs ?

[dragonou]

je ne vois pas comment trouver leurs coeff directeurs aussi...

[maturin]

un façon de faire est d'ecrire
x(t)=a.t+d
y(t)=b.t+e
z(t)=c.t+f

c'est l'équation paramétrique d'une droite dans l'espace.
Son vecteur directeur est (a,b,c)

Rq : pour trouver les valeurs de a,b,c,d,e,f tu rempalces dans les 2 équations (ce qui te donneras 4 équations), et après tu peux poser x(t)=t à partir du moment où tu est sur que x n'est pas constant. Ca te laisse donc 4 equations pour 4 inconnues.
Poser x(t)=t revient à fixer un écriture unique en mode parametré (sinon suivant que tu prends t=2.t' ou t=t'+cte, ça change l'équation sans changer la droite).

[maturin]

sinon selon ce que tu as appris :
un plan défini par ax+by+cz+cte=0 est orthogonal au vecteur (a,b,c)

donc ta droite étant définie par l'intersection de deux plans aura comme vecteur directeur v1^V2 (produit vectoriel) avec v1 et v2 les deux vecteurs orthogonaux aux 2 plans définissants ta droite.

[dragonou]

ta dernière méthode m'a l'air la meilleure , je l'essaye :

vecteur directeur de la 1ère droite :

u(1,0,-1) , v(1,0,3) , donc u*v = (1,0,-3)

vecteur directeur de la 2eme droite :

u'(2,2,0) , v'(3,-3,6) , donc u'*v' = (6,-6,0)

avec çà maintenant :

u*v = (1,0,-3)
u'*v' = (6,-6,0)

comment tu prouves qu'elles sont parallèles?

[maturin]

alors j'ai pas les mêmes vecteurs v,u',v' que toi
et je dois pas calculer le produit vectoriel comme toi


enfin bon même en faisant les calculs juste je trouve pas qu'elles soient parallèles ces droites
je trouve (1,-3,1) pour D1
et (1,1,-3) pour D2

t'es sûr de ton énoncé ?.
D1
x-z-2 = 0
y+3z+1=0

D2
x+2y+z-4=0
3x+3y+2z-7=0

remarque : t'as pas forcément dit qu'elles étaient parallèles, t'as juste cherché à savoir si elles l'étaient non ? Donc elles le sont pas parce que leur vecteurs directeurs ne sont pas colinéaire.

[dragonou]

zut je me suis trompé de droites !

D1

x+y+1 = 0
x-y+2z = 0

D2

2x+2y+1 = 0
3x-3y+6z+1 = 0

Je dois montrer qu'elles sont parallèles dans un 1er temps .

Donc pour que 2 droites soient parallèles il faut que leurs vecteurs directeurs soit colinéaires . Ici comment tu trouves le vecteur directeur de chaque droite s'il te plait?

[dragonou]

je fais çà :

u*v = (1,1,0)*(1,-1,0) = (1,-1,0) , est ce le bon résultat ?

c'est le vecteur directeur de D1

vecteur directeur de D2 :

u'*v' = (2,2,0)*(3,-3,6) = (6,-6,0)

voilà j'ai mes 2 vecteurs directeurs des 2 droites , ensuite dois je écrire les droites sous formes paramétriques? si oui comment faire?

[maturin]

alors il faut recopier les coeficients x,y,z :
u^v=(1,1,0)^(1,-1,2)=(2,-2,-2)

u'^v'=(2,2,0)^(3,-3,6)=(12,-12,-12)=6*(2,-2,-2)

ces deux vecteur sont bien colinéaires donc les droites sont parallèles.

Le produit vectoriel se note ^
et il se calcule par la formule que je t'ai donné plus haut. Toi tu multiplie les termes 1 à 1 alors que c'est un peu plus compliqué.
De plus il faut savoir que le produit vectoriel de 2 vecteurs est égal à un vecteur perpendiculaires à ces 2 vecteurs, c'est ce qui te permet de dire qu'il est dans la direction de la droite d'intersection des 2 plans.

Si tu ne connais pas le produit vectoriel, ou si tu ne l'as pas vu en cours, il faut utiliser la forme paramétrée.