Divisibilité tordue (spé maths)

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]Je suis en terminale S et je fais spécialité maths
J'ai eu un exercie à faire pour vendredi et il est vraiment compliqué
Je me demandai si quelqu'un aurait pu me donner un coup de main
Merci d'avance

Voilà l'énoncé :

(Les trois parties A,B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres)

PARTIE A
Soit E = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}
Déterminer les paires {a;b} d'entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1

PARTIE B
1) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3
L'entier (n+1) ! + 1 est-il pair?
L'entier (n-1) ! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair?
2) Prouver que l'entier (15-1) ! + 1 n'est pas divisible par 15
3) L'entier (11+1) ! +1 est-il divisible par 11?

PARTIE C
Soit p un entier naturel non premier (p supérieur à 2)
1) Prouver que p admet un diviseur q (q inférieur à p et q supérieur à 1) qui divise (p-1) !
2) L'entier q divise-t-il l'entier (p-1) ! + 1
3) L'entier p divise-t-il l'entier (p-1) ! + 1

Rappel : n! est le produit de tous les entiers compris entre 1 et n (pour n supérieur ou égal à 1)

Merci beaucoup du temps que vous pourriez me consacrer[/FONT]

[becirj]

La partie A est un peu fastidieuse, il faut simplement faire le calcul des différents produits.

Partie B
1 . Puisque contiennent le facteur 2 donc ce sont des nombres pairs, donc impair, il en est de même de qui n'est donc pas divisible par un entier pair.

[Zebulon]

Bonsoir,
dans la partie A, on cherche les paires {a,b}, , , tels qu'il existe q entier :ab=11q+1. On regarde les q qui conviennent ( :happy2: ):on cherche . Je te laisse chercher...

[alexjo59]

:doh: j'ai pas bien compris, je suis désolée

[Zebulon]

Tu n'as pas compris la partie A ou la B?

[becirj]

Si le resta dans la division par 11 est 1, c'est que le produit cherché est un multiple de 11 +1
Exemple : le produit peut être 11+1 =12 avec la paire {3,4} ou la paire {2,6}.
Le produit peut être 22+1 = 23 mais la, pas de paire possible car on reste dans les nombres inférieurs ou égaux à 10;
...

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]c'est pour la partie B que j'ai pas compris J'aime beaucoup les maths pourtant mais le ! me trouble[/FONT]

[becirj]

Je prends un exemple avec n =4 : 5!=1 x 2 x3 x4 x5 . 5! contient le facteur 2 donc c'est un nombre pair, si on lui ajoute 1, on obtient un nombre impair.

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS][FONT=Courier New]a daccord en fait c'est tout bête
désolé
et pour la question 2 et 3 , je procéde pareil? [/FONT] [/FONT]

[becirj]

L'idée est la même , par exemple pour la 2., on peut voir que si l'on divise le nombre par 3 ou par 5, le reste est 1 donc le nombre n'est divisible ni par 3 ni par 5 (d'ailleurs il suffit de montrer qu'il nest pas divisible par 3)

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]oui mais on fait (15-1)! +1 donc est ce que ça revient à 14! +1?
et 11 est un nombre premier donc pour 11 je peux pas décomposer[/FONT]

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]je vais me coucher! Merci pour tout! Votre aide m'est très précieuse! Je regarderai le reste demain[/FONT]

[becirj]

(15-1)!=14!
(11+1)!+1=12!+1
12! comprend le facteur 11 ; il est diivisible par 11 mais quand on divise (12!+1) par 11 le reste est 1.

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]pour la partie B les question 2 et 3
pour la question 2, je dis que (15-1) ! + 1 = 14 ! + 1 et que comme il n'y a pas le facteur 15 il n'est pas divisible par 15?
pour la question 3, on a (11 - 1)! + 1 donc ça ferait 10! + 1 donc je peux pas dire qu'il est divise par 11
c'est ça?[/FONT]

[becirj]

14! est divisible par 15 car il contient les facteurs 3 et 5 donc il est divisiblee par 3 x 5 donc 14!+1=15 x q +1 ce qui montre que , lorsqu'on divise 14!+1 par 15 le reste est 1
Pour la troisième , il s'agit de (11+1)!+1=12!+1
12! contient le facteur 11, il est divisible par 11 donc 12!+1=11q+1 , lorsqu'on divise 12!+1 par 11, le reste est donc 1.

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]en fait j'ai fait une erreur dans l'énoncé : il d'agit de (11-1)! +1 à la question 3
donc on n'a plus le facteur 11 dans les termes
alors je peux affirmer que ce n'est pas divisible par 11, non?[/FONT]

[becirj]

10!+1 est divisible par 11.

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]et pourquoi est-il divisible par 11? on n'a pas de facteur 11 :mur: [/FONT]

[becirj]

Une vérification simple : tu prends ta calculatrice , tu calcules 10! , tu ajoutes 1 et tu divise par 11, le quotient est exact.
J'ai une démonstration, elle est un peu compliquée.
As-tu étudié les congruences ?

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]oui je les ai étudié
on peut le démontrer grâce à ca?[/FONT]