[spe] Divisibilité

[Elnorth]

Bonjour,

Comme beaucoup d'entre-vous le savent, nous avons environ 2 heures de spécialité mathématique par semaine. Donc, là je tente de faire un peu plus d'exercices pour mieux comprendre mon cours. Seulement, dès les premiers exercices d'entraînement, je tombe sur des difficultés.

Voici l'exercice en question :
[INDENT]
n désigne un entier naturel
1) Démontrer que : pour tout n entier relatif est divisible par

2) En remarquant que : pour tout n entier relatif,
déterminer les entiers relatifs n pour lesquels est divisible par

3) Soit C la courbe d'équation dans le plan muni d'un repère (O;i;j). Y a-t-il des points de C dont les coordonnées sont des entiers ?
[/INDENT]

La première partie ne s’est pas trop mal déroulée, mais j'ai besoin de votre avis :
[INDENT]
On cherche les racines de :
donc, il existe deux racines : -1 & -2
Donc,

Supposons que divise , il existerait donc un réel k appartenant à Z tel que :





Donc, il existe bien un réel k définie par tel que soit divisible par
[/INDENT]

Donc, sur cette partie, j'aimerai déjà avoir votre avis, savoir si il y a des zones perfectibles, des choses à améliorer (etc). Ensuite, j'aimerai savoir comment mener la partie 2 (une sorte de méthode, pas forcement la réponse).

J'ai tenté de faire la même chose qu'ici : c'est à dire retrouver le réel k mais sans grand succès, on se retrouve avec une fraction, rien de bien pratique pour pouvoir déterminer les entiers relatifs.

Pour la partie 3, je n'ai pas non plus d'idées, donc comme pour la numéro deux, une sorte de méthode me suffira. J'hésite à vérifier graphiquement et à affirmer ou à tenter de démontrer (certainement plus long que lire les résultats affichés par la calculatrice).

Merci pour votre aide

[Nicolas_75]

Bonjour,

Pour moi la 1) se rédige en une ligne :
donc divise pour tout n entier naturel.

Nicolas

[Galt]

Pour le 2 :
Il faut utiliser que quand a divise b et b+c, a divise c. On peut même écrire une équivalence : a divise ka+b si et ssi a divise b.

[Elnorth]

a divise ka+b si et ssi a divise b.

En fait, le problème vient justement de là. On peut toujours poser un nouveau réel f appartenant aux entiers relatifs tels que : b/a = f, mais je n'arrive pas à montrer que 9 est divisible par n+2. Et en regardant les résultats donnés par ma calculatrice, les entiers relatifs qui permettent d'avoir un entier relatif sont : -5, -3, -1, 1, 7.

La chose que l'on peut conjecturer, c'est que -5 + 3 = 2; -3 + 1 = 2; 1 + 1 = 2; mais 7 fait exception.

Donc pour en revenir à la question, comment démontrer que 9 peut être divisée par n+2 ?

[Elnorth]

hum ... je pense avoir une idée

[Elnorth]

En fait, je vois plus ou moins comment faire : c'est à dire que neuf peut être divisé par 3, par 1 et par lui-même, donc k a plusieurs solutions :

n + 2 = 9 (n = 7)
n + 2 = 3 (n = 1)
n + 2 = 1 (n = -1)
n + 2 = -1 (n = -3)
n + 2 = -3 (n = -5)
n + 2 = -9 (n = -11)

On retrouve bien les résultats, mais comment le dire ? Je veux dire qu'il est impossible d'affirmer que -9 < k < 9. Donc, je ne vois pas comment le formuler pour avoir quelque chose de cohérent et de valable.

Si vous avez une idée ...

[phenomene]

Bonjour,

Tu peux dresser la liste exhaustive de tous les diviseurs de ; Il n'y en a pas beaucoup ! Chacun te fournira une valeur possible de , et donc de .

[Elnorth]

Ok.

Maintenant, pour la partie 3, je n'ai toujours aucune idée de comment faire, comment procéder à la mise en place d'un système de résolution pour ne trouver que des entiers.

[INDENT]3) Soit C la courbe d'équation dans le plan muni d'un repère (O;i;j). Y a-t-il des points de C dont les coordonnées sont des entiers ?[/INDENT]

Je peux toujours redonner sous forme factorisée, ceci donne :


Si je simplifie par n+2, j'obtiens :


Donc, finalement, ça ne m'a pas fait avancer :/

[Elnorth]

Hum, c'est toujours un rond, ça renvoit toujours à la même chose :/ Un entier ne doit pas être décimal, donc cette division doit admettre un entier relatif k tel que a/b.

Mais là, je ne vois pas du tout comment faire :S Quelqu'un aurait une idée ?
Merci.