Dériver

[dragonou]

Bonsoir , j'aimerais savoir comment vous dérivez çà svp :

ln((3+5x)/7x^3)) ?

merci

[Joker62]

Composée de fonction

ln (u) = u'/u

ici u = (3+5x) / (7x^3) qui est bien dérivable ( Fraction rationnelle )

On a u' = (35x^3 - (3+5x)*21x²) / (49x^6)
= x² ( -70x - 63) / 49x^6
= -(70x + 63) / 49x^4

d'où ln(u)' = (-(70x + 63)/49x^4) * (7x^3)/(3+5x))

= (-(70x + 63) * 7x^3) / ((49x^4)*(3+5x))
= -(70x + 63) / (7x(3+5x))
= -(70x + 63) / (x(21 + 35x))
= (-(63 + 105x) + 35x) / (x(21+35x))
= [(-3*(21 + 35x)) / (x(21+35x)) ] + 35x / (x(21+35x))
= (-3/x) + 35/(21+35x)

[Joker62]

Ouai j'ai fait le crétin parce que y'a une simplication pour la dernière expression
Mais on pouvait aller beaucoup plus vite en disant que

ln(a/b) = ln a - ln b
avec a = 3+5x et b = 7x^3

Et d'où avec la formule ln(u)' = u'/u on s'en tirait avec les simplications déjà faites