Dérivé de sin

par **manu18ck** » 05 Juil 2007, 17:37

bonjour comment demontre t-on que sin'=cos
j'ai esseyé avec 1/h(sin(x+h)-sin(x))=1/h(cos(x)sin(h)+sin(x)(cos(h)-1)
=cos(x).sin(h)/h+sin(x).(cos(h)-1)/h
mais comment justifier que sin(h)/h->1 et (cos(h)-1)/h->0 quand h->0 ???
merci

par **Cyberlilu** » 05 Juil 2007, 17:39

il faut utiliser la formule du taux d'accroissement non?

par **Cyberlilu** » 05 Juil 2007, 17:43

tu dois simplement démontrer ou on t'accorde quelques données initiale??

par **fonfon** » 05 Juil 2007, 17:47

salut,

calculepour tout x0

et utilise le fait que

et

par **fonfon** » 05 Juil 2007, 17:54

Rain' a écrit:Le problème c'est que pour utiliser la fin faut connaître le taux d'accroissement en 0 de sin et de cos, or c'est précisément ce qui doit être démontré. Forcément c'est facile d'obtenir la réponse en l'utilisant dans la démonstration.

au lycée dans le cours ces limites sont admises

par **emdro** » 05 Juil 2007, 17:57

Bonjour,

ne cherche plus: c'est LE problème dans le programme du lycée: cette formule ne peut être établie avec les outils du lycée.

On doit admettre que lim sinx/x=1 en 0. Eventuellement, avec une interprétation géométrique.
Une fois cette formule admise, on obtient sin'0=1. Puis avec un peu de recherche sin'a=cosa.

Mais tu ne pourras pas t'en sortir.

Bravo, d'avoir trouvé la faille!

EmDro

par **emdro** » 05 Juil 2007, 18:01

A partir de sinx/x ->1, on établit aussi la formule (cosh-1)/h ->0 en remarquant que cos h= cos (2*h/2)=1-2sin²(h/2).

par **manu18ck** » 05 Juil 2007, 18:40

merci emdro mais je suis en prepa capes donc si tu en sais un peu plus sur comment demontrer que sin(h)/h->1 sans utilisez de DL je suis preneur

par **fonfon** » 05 Juil 2007, 18:49

re,

tu peux aller voir ceci:

http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=231374#post231374

par **emdro** » 05 Juil 2007, 18:56

Voilà, c'est la démonstration géométrique dont je te parlais. Et c'est ce que je dirais à un jury de capes.

Sinon, mathématiquement, tu connais la définition de sin? C'est la partie imaginaire de exp(ix). Donc tu obtiens immédiatement son DSE: x-x^3/3!+...
Et ta limite est immédiate. Mais dans ce cas tu n'en as pas besoin, car il est très clair que cos est la dérivée de sin: il suffit de dériver les séries entières.

C'est à toi de bien définir tes prérequis.

Désolé de t'avoir pris pour un lycéen!

par **fonfon** » 05 Juil 2007, 19:05

sinon pour montrer que (sin(x))'=cos(x) tu peux utiliser les formules d'Euler mais pour le capes peut-être que la methode geometrique est la plus appropriée

par **manu18ck** » 06 Juil 2007, 07:06

Remarque pour Cyberlilu la fonction T(h)=1/h(sin(x+h)-sin(x)) est précisément le taux d'accroissement de la fonction sin au point x.

grand merci a fonfon pour ton lien et a emdro pour tes idées et remarques

par **yos** » 06 Juil 2007, 08:53

emdro a écrit:ne cherche plus: c'est LE problème dans le programme du lycée: cette formule ne peut être établie avec les outils du lycée.

On doit admettre que lim sinx/x=1 en 0.

Tu peux le prouver géométriquement.

Soit x dans

.

1)

(car x=arc AM > AM >sin x). Je te laisse deviner les notations (habituelles).

2)

(compare l'aire du triangle OAT et du secteur OAM).

D'où

et on achève avec le théorème "d'encadrement" .

Cela prouve que la limite à droite est 1. Mais la fonction est paire donc...

Après

par **oscar** » 06 Juil 2007, 10:56

Bonjour

Soit f(x) = sin x
Le taux d'' accroissement est T = h(y)/h(x)

h(y)/h(x)= [sin ((x+h(x)) - sin x]/ h(x)
=[ 2sin h(x)/2 * cos (x+h(x)/2)]/ h(x)

=[sin h(x)/2 *cos (x +h(x)/2]/h(x) /2

=> f'x) = lim h(y)/h(x) =lim sin h(x)/2/ h(x)/2 * lim cos (x+h(x)/2
................h(x)-->0................h(x)--> 0...............h(x)--->0

Or lim sin h(x)/2 / h(x)/2 =1 ( h(x)/2--> 0)
et lim cos ( x + h(x)/2) =cos x ( h(x)--> 0)

Donc f' (x) = cos x

par **Cyberlilu** » 06 Juil 2007, 12:33

ah ok dsl j'avais pas vu le '1/h' ... :marteau:
dsl.....

par **selmisse** » 07 Juil 2007, 19:56

En utilisant la dévelopements limités
sinx = x - x^3/3! +..............+ (-1)^n x^2n+1/(2n+1)! + O(x^2n+3)
:id:

par **anima** » 07 Juil 2007, 20:22

selmisse a écrit:En utilisant la dévelopements limités
sinx = x - x^3/3! +..............+ (-1)^n x^2n+1/(2n+1)! + O(x^2n+3)
:id:

Je ne vois pas ce que ca prouve; en fait, ce DL provient d'une dérivation successive de la fonction sinus. Or, si tu sais la dériver, tu sais qu'elle équivaut a cos. Et de plus, ta pseudo-preuve ne serait valable qu'en admettant que les 2 termes tendant vers zéro en zéro sont égaux pour tout x appartenant a R, non?

par **Ledescat** » 08 Juil 2007, 15:19

Bonjour.
En utilisant le fait que :

et en dérivant,on en déduit très vite que sin'=cos

.

Dérivé de sin

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