Derivation en un point

[philotte]

bonjour à tous,

je fais actuellement un daeu b par correspondance, et il m'est difficile de travailler seule les maths, ainsi je vous appelle à l'aide

j'ai un petit soucis de comprehension des derivation en un point a

soit f(x) est derivable en a si lim (x->a) f(x)-f(a) / (x-a) = L à droite et à gauche.

jusque là, ça va.
cependant je ne vois pas la difference entre f(x) quand x tend vers a et f(a).

je m'explique.

prenons f(x) = x-1 en cherchant sur 3

f(x)-f(a) / (x-a) = (x-1)-(3-1) / (x-3)

lim (x->3) f(3)-f(a) / (3-a) = (x-1)-(3-1) / (x-3) ?
ou alors j'ai vraiment loupé un truc (ce qui ne m'etonnerais pas..)

pareil pour:

lim (x->0) f(a+h) - f(a) / h = L
quel est ce h?

une bonne âme pour eclairer ma l'anterne?

[Ericovitchi]

c'est parce que tu n'as pas simplifié f(x)-f(a) / (x-a) = (x-1)-(3-1) / (x-3) = (x-3)/(x-3) = 1

(c'est normal, tu as pris une droite donc l'accroissement te donne le coef directeur de la droite qui est constant)
Tu viens de démontrer que la dérivée d'un fonction affine est constant et égal à son coefficient directeur. C'est très bien.

[philotte]

mervi pour ta reponse tres rapide.

mais peu importe la fonction x est toujours egal à a?

dans le cas de

lim(a->0) f(a+h)-f(a) / h

où f(x)= -3x² + 4x + 5
f(a)= 2

le raisonnement est il bon?

f(a+h)-f(a) / h = -3(a+h)² + 4(a+h) + 5 / h
=-3(a²+ 2ah + h²) + 4a + 4h + 5 / h
=-3a² - 6ah - 3h² + 4a + 4h + 5 / h


lim(a->0) f(a+h)-f(a) / h = -3(2)² - 6(2)(h) - 3h² + 4(2) + 4h + 5 / h
=-12 - 12h - 3h² + 8 + 4h + 5 / h
=-4 -8h - 3h² / h

apres eventuellement factoriser par h pour retrouver

= h ((-4/h) - 8 - 3h) / h
=(-1/h) - 8 - 3h

mais apres je ne sais pas quoi faire de ce h. (-1/h) - 8 - 3h = 0?

je suis sincerement desolée, mais je suis vraiment perdu sur ces deux theoremes.
l'une, j'ai l'impression que cela donne toujours 1 car x=a donc f(x)=f(a)? et l'autre je ne comprends pas ce h

[Ericovitchi]

il y a des trucs qui ne vont pas.
d'abord ça n'est pas lim(a->0) f(a+h)-f(a) / h c'est lim(h->0) f(a+h)-f(a) / h la définition de la dérivée


dans le f(a+h)-f(a) / h tu as oublié le f(a)

pourquoi dis tu que f(a)= 2 ?


Pour calculer la dérivée de f(x)= -3x² + 4x + 5 en un point a il faut faire
lim (h-> 0) ((-3(a+h)²+4(a+h)+5 ) - (-3a²+4a+5) ) / h

Et évidemment tu dois trouver la dérivée en a de f(x)= -3x² + 4x + 5
f'(a)=-6a+4

[philotte]

aouch. en effet, là je me suis pas mal plantée

donc

f(a+h)-f(a)/h = ((-3(a+h)²+4(a+h)+5 ) - (-3a²+4a+5) ) / h
=-3a² - 6ah - 3h² + 4a + 4h + 5 + 3a² - 4a - 5 / h
=-3h + 4 -6a

pourquoi dis tu que f(a)= 2 ?

dans la plupart des exercices, on doit verifier que la fonction f(x) est derivable en f(a)=.. en l'occurence cet exercice etait pour f(a)=2

donc là nous aurions

=-3h + 4 - 6(2)
=-3h + 4 -12
=-3h - 8

lim (h->0) (-3h - 8) = -8
d'où f'(2) = -8?

je suis sincerement navrée de re-rabacher mais j'aimerais tout de meme demander votre avis sur cette fonction avec l'autre methode soit

lim(x->a) f(x) - f(a) / (x-a)

f(x) - f(a) / (x-a) = -3x² + 4x + 5 - ( -3a² + 4a + 5 ) / (x-a)

(où a=2)

= -3x² + 4x + 5 - ( -3(2)² + 4(2) + 5 ) / (x-2)
= -3x² + 4x + 5 + 12 - 8 - 5 / (x-2)
= -3x² + 4x + 4 / (x-2)

lim(x->2) f(x) - f(a) / (x-a) = = -3x² + 4x + 4 / (x-2) = FI de type 0/0
sauf que là, j'ai fortement l'impression de me tromper car j'ai toujours x=a donc dans tous les cas, dans n'importe quelles fonctions et leurs derivées, ce sera toujours le meme resultat ce qui m'etonne fort

en tout cas, c'est vraiment gentil de prendre un peu de temps pour m'aider à me depatouiller de ce fatras. c'est tres difficile de travailler seule, surtout quand on bloque sur un point. merci beaucoup.