Démontrer que tan(60°)= racine de 3

[chupinette4]

Coucou!!
Voila tout est dans le titre j'ai un exo ou je dois Démontrer que tan(60°)= racine de 3 !
Je ne sais pas par ou commencer
je vous remercie d'avance ;)

[c pi]

Bonsoir

Et si tu commençais par tracer une petite figure ?
Toute simple, comportant un -ou plusieurs - angle de 60°...
Que proposerais-tu ?

[sum87]

tanx=sinx/cosx donc sin(60°)/cos(60°)=tan(60°) <=>sin(Pi/3)/cos(Pi/3)=tan(Pi/3) comme sin(Pi/3)=racine de 2/3 et cos(Pi/3)=1/2 tan(Pi/3)=tan(60°)=racine de 3

[chupinette4]

merci beaucoup a vous 2 mais Sum87 je n'ai pas compris comment tu as fait :s

[sum87]

dans ton cour tu doit avoir la relation tanx= sinx/cosx donc tan(60°)=sin(60°)/cos(60°) en replançant x par 60°
ensuite tu doit aussi savoir que 60°=Pi/3 radians .Ta plus qu'à remplacer 60° par Pi/3 dans l'expression de tanx.t'obtient alors tan(Pi/3)=sin(Pi/3)/cos(Pi/3).
sin(Pi/3) s'écrit aussi racine(3)/2 et cos(Pi/3)=0,5 (tu peut vérifier avec ta calculatrice en mode radian).
Maintenant c'est facile tan(Pi/3)= racine(3)/2/(0,5) ce qui revient à racine(3)/2 multiplié par 2, donc racine de 3. Comme tan(Pi/3)=tan(60°), alors tan(60°)=racine de 3.

[c pi]

merci beaucoup a vous 2 mais Sum87 je n'ai pas compris comment tu as fait :s

Alors essayons de voir cela sous un angle plus simple :
- tu construis un triangle ABC équilatéral (tous ses angles ont donc 60°)
- tu traces la hauteur issue de A qui coupe [BC] en son milieu H
- tu désignes par d la distance BH=HC
- tu exprimes AB et AH en fonction de d
AB=.... et AH²=AB²-BH²=(2d)²-d²=4d²-d²=3d², d'où AH=...
- tu écris que tan(60°)=tan(ABH)=AH/BH=.../...=...