Démontrer par l'absurde (fontion)

[Breezy23]

Bonjour ,j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un des exercices de mon dm.

Voici l'énoncé :
f est une fonction croissante sur [ 0 ;+inf [ et lim f(x) = 2 quand x tend vers +inf.
Démontrer que pour tout x>ou = 0, f(x)< ou = 2.

Mon professeur m'a donné quelques indications :
Raisonner par l'absurde de cette façon, supposer qu'il existe un réel a > ou = 0 tel que f(a) > 2.
Utiliser la définition d'une fonction croissante pour en déduire une conséquence.
Justifier qu'il existe un réel epsilon > 0 tel que f(a)>2+epsilon.
Prouver alors que, pour tout réel x> ou = a, f(x)>2+epsilon.
Établir une contradiction avec une hypothèse de l'énoncé.

Ce que j'ai fait :

Quelques schéma pour essayer de voir essayer de comprendre cette démarche, malheureusement, je ne vois pas comment je peux supposer qu'il existe un réel a > ou = 0 tel que f(a) = 2 parce que la limite de cette fonction est 2.
Comment justifier qu'il existe un réel Epsilon > 0 tel que f(a) > 2 +epsilon ? Et comment prouver que pour tout réel x > ou = a , f(x) > 2+epsilon ?

Je m'excuse d'en demandé autant de votre part, et je vous remercie de m'aider pour cette exercice.
Robert.

[stephaneenligne]

bonsoir

pourquoi pas un raisonnement par l'absurde puisque c'est comme ça qu'on te demande de procéder.
Supposons qu'il existe a tel que f(a)>2, f est croissante donc f conserve l'ordre
pour tout x >a on a alors f(x)>f(a)

[Breezy23]

Bonsoir, merci de m'avoir répondu !
Je pense avoir compris, j'ai fait l'exercice pourriez vous me corrigé ?

Soit a un réel ;) 0 tel que f(a) > 2
Définition d'une fonction croissante : Soient a et b deux réels b > a alors f(b > f(a).
Soit ;) réel tel que ;) > 0.
On sait que f(a) > 2 et on peut déduire que 2 + ;) > 2 car ;) > 0
d'où f(a) > 2 +;) car f(a) - ;)>2 . or pour tout x > ou = a on a f(x) > ou = f(a) par définition d'une fonction croissante.

On a donc f(x) > ou = f(a) > 2 + Epsilon > 2. d'où f(x) > 2 + Epsilon.

On a f(x) > 2 grâce à l'encadrement précédent, d'où une contradiction avec l'énoncé indiquant la limite fini 2 quand x tend vers + inf .
S'il existait ce réel a tel que f(a) > 2 avec x > ou = a , la limite fourni par l'énoncé serait absurde.

On peut conclure que pour tout x > ou = 0, f(x) < ou = 2. f étant majorée par y= 2 ( asymptote horizontale )

[stephaneenligne]

la rédaction est un peu confuse:
"On sait que f(a) > 2 et on peut déduire que 2 + ;) > 2 car ;) > 0" que vient faire "on peut en déduire" ici? f(a)>2 n'a rien à voir avec 2+ ;)>2. Au niveau de l'enchaînement logique cela n'est pas satisfaisant. Attention à utiliser les connecteurs logiques à bon escient.

J'avoue que j'ai du mal à suivre ton raisonnement.

[Breezy23]

C'est vrai qu'en me relisant, je ne me comprends pas vraiment :hum:

Voilà ce que j'ai refais :

F est une fonction croissante sur [ 0;+inf[ qui vérifie lim f(x) = 2 (quand x tend vers +inf).
0n cherche à démontrer que pour tout x >ou= 0 tel que f(a) > 2.

Soit a un réel > ou = 0 tel que f(a) > 2.
Une fonction croissante conserve l'ordre, pour tout x > a on a alors f(x) > f(a).
Soit ;) > 0. On sait que f(a) > 2. Donc f(a) > 2 + ;) > 0.
f(a) - 2 > 0.
;) >0 donc f(a) - 2 > ;) > 0.
Donc f(a) > ;) +2.
D'après la définition d'une fonction croissante, Si x > A alors f(x) > f(a).
Or on sait que f(a) > ;) + 2 .
f(x) > f(a) > ;) + 2.
Donc f(x) > ;) + 2

OR pour x > ou = 0, f(x) < ou = 2. C'est absurde.

Je me rends compte que pour rédiger, je ne suis pas très fort. Pourriez vous m'aider un peu ?