Démonstrations maths spé

[aude45]

Salut à tous,
alors voilà j'ai un petit problème pour faire ces demonstrations si vouys pouviez me donner un ptit coup de main je vous en serez très reconnaissante!merci d'avance pour vos réponses mais aussi pour vos prises de tête!lol
soit x,y et z des entiers relatifs tels que x^2+y^2=z^2

démontrer :
1) l'un des nombres x,y ou z est multiple de 3
2) l'un des nombres x,y ou z est multiple de 4
3) l'un des nombres x,y ou z est multiple de 5

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Je te fais la première, le reste est analogue.

Supposons qu'aucun des 3 n'est divisible par 3.

Lemme :
Le carré d'un nombre non divisible par 3 est égal à 1 modulo 3 (en effet : 1²=1[3], 2²=4=1[3] )

Démonstration :
Prenons x=1[3] et y=1[3]
On a alors x²=1[3] et y²=1[3] donc x²+y²=2[3], c'est-à-dire z²=2[3], absurde d'après le Lemme.
Prenons x=2[3] et y=1[3] (le cas x=1[3] et y=2[3] n'a pas besoin d'être traité puisque le problème est équivalent en x et y)
On a alors x²=1[3] et y²=1[3] d'où x²+y²=2[3], ie z²=2[3], une nouvelle fois absurde d'après le Lemme.

Conclusion : Au moins l'un des 3 est divisible par 3.