Démonstration de la dérivée de ln(u)

[laetidom]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir comment retrouver la démonstration de la dérivée de lnx :

je sais que mon cours me dis : (lnx)' =

et je m'étais dit que je pouvais sans doute retrouver ce fameux en posant le calcul de la lim t(h) quand h tend vers 0 (ok pour retrouver toutes les formules mais ça semble pas être la bonne méthode pour le log népérien !?)

t(h) : taux d'accroissement de la fonction

mais je n'arrive à rien !?!?..............quelqu'un saurait-il me "dépanner" dans mon intérrogation ? merci d'avance à vous....

[Carpate]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir comment retrouver la démonstration de la dérivée de lnx :

je sais que mon cours me dis : (lnx)' =

et je m'étais dit que je pouvais sans doute retrouver ce fameux en posant le calcul de la lim t(h) quand h tend vers 0 (ok pour retrouver toutes les formules mais ça semble pas être la bonne méthode pour le log népérien !?)

t(h) : taux d'accroissement de la fonction

mais je n'arrive à rien !?!?..............quelqu'un saurait-il me "dépanner" dans mon intérrogation ? merci d'avance à vous....

La fonction ln est couramment définie comme la primitive de la fonction inverse (*)qui s'annule pour x =1
En revanche tu peux très bien démontrer que en utilisant la dérivée d'une fonctions composée.

* quand elle n'est pas définie comme réciproque de la fonction exponentielle

[WillyCagnes]

bjr,

ln(x)' = (ln(x+h) - ln(x))/h avec h->0

= ln[(x+h)/x]/h

=ln(1+h/x)/h
et le devel. limité de ln(1+h/x) = (h/x) -(h/x)²/2 +(h/x)^3/3....

d'où le rapport
ln((1+h/x)/h= (h/x)/h -1/2 (h²/x²)/h+ 1/3 (h/x)^3/h....

ln((1+h/x)/h= 1/x -1/2 (h/x²)+ 1/3 (h²/x^3) ....

on tend h->0
Ln(1+h/x)/h = 1/x

donc ln(x)' = 1/x

[laetidom]

La fonction ln est couramment définie comme la primitive de la fonction inverse (*)qui s'annule pour x =1
En revanche tu peux très bien démontrer que en utilisant la dérivée d'une fonctions composée.

* quand elle n'est pas définie comme réciproque de la fonction exponentielle

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Salut Carpate !,

Merci pour ta réponse, la première partie de ta réponse veut donc dire que c'est défini comme tel, c'est une DEFINITION officielle, qu'il faut apprendre ou prendre comme telle, d'accord.

Pour essayer de retrouver le résultat de la dérivée (je suis plus à l'aise dans ce sens là) j'ai trouvé la démonstration suivante :
g(x)=ln(ax+b) avec a0
composée de x---> u=ax+b ---> ln(u)=g(x)
à condition d'avoir ax+b >0
g'(x) = ln'(u) * u'(x) =
Conséquence :
(lnu)'=u' / u
(ln(ax+b))' = a / (ax+b)
(ln(ax))' = 1/x

Ce que je ne comprends pas c'est dans cette ligne : g'(x) = ln'(u) * u'(x) =
C'est le passage de ln'(u) à 1/u(x) car ça ne démontre rien c'est se servir de la formule du cours qui dit que la dérivée de lnx est égale à 1/x, mais comment passe-t'on de l'un à l'autre ou bien il faut se contenter de la défintion en première partie de ton message....

Merci pour m'éclairer encore......

[laetidom]

bjr,

ln(x)' = (ln(x+h) - ln(x))/h avec h->0

= ln[(x+h)/x]/h

=ln(1+h/x)/h
et le devel. limité de ln(1+h/x) = (h/x) -(h/x)²/2 +(h/x)^3/3....

d'où le rapport
ln((1+h/x)/h= (h/x)/h -1/2 (h²/x²)/h+ 1/3 (h/x)^3/h....

ln((1+h/x)/h= 1/x -1/2 (h/x²)+ 1/3 (h²/x^3) ....

on tend h->0
Ln(1+h/x)/h = 1/x

donc ln(x)' = 1/x

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Merci WillyCagnes pour cette réponse très précise par le calcul, je cale pour le passage entre la 1ère et la seconde ligne.....excuse-moi....et il va falloir que je revois mes develop limités pour travailler ton calcul, un grand merci à vous deux pour ces précieuses infos !!!!!! merci

[WillyCagnes]

pour Info

ln(A) -ln(b)= ln (A/b)
avec A= x+h et b=x

voir ces liens utiles et entraine toi

http://serge.mehl.free.fr/anx/dev_lim.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor
http://www.math-info.univ-paris5.fr/~graff/COURS/L1_S1/cours/dl/node1.html

[laetidom]

[quote="WillyCagnes"]pour Info

ln(A) -ln(b)= ln (A/b)
avec A= x+h et b=x

voir ces liens utiles et entraine toi

http://serge.mehl.free.fr/anx/dev_lim.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor
http://www.math-info.univ-paris5.fr/~graff/COURS/L1_S1/cours/dl/node1.html[/QUOTE
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Merci WIllyCagnes, merci pour tes precisions, je vais retravailler tout ça avec plaisir, les maths quand tu nous tient ........bonne soirée a tous

[Black Jack]

y = ln(x) (avec x > 0)
x = e^y

dx/dy = e^y

dy/dx = 1/e^y

dy/dx = 1/x

(ln(x))' = 1/x
*****
Certains diront que c'est une démo à la physicien ...
Mais ce genre de calcul a été depuis longtemps justifié mathématiquement par l'ANS.

:zen:

[WillyCagnes]

bsr,

tu pars de l'hypothèse que l'on sache derivée une exponentielle.

[Carpate]

bjr,

ln(x)' = (ln(x+h) - ln(x))/h avec h->0

= ln[(x+h)/x]/h

=ln(1+h/x)/h
et le devel. limité de ln(1+h/x) = (h/x) -(h/x)²/2 +(h/x)^3/3....
d'où le rapport
ln((1+h/x)/h= (h/x)/h -1/2 (h²/x²)/h+ 1/3 (h/x)^3/h....
ln((1+h/x)/h= 1/x -1/2 (h/x²)+ 1/3 (h²/x^3) ....
on tend h->0
Ln(1+h/x)/h = 1/x
donc ln(x)' = 1/x

Bonsoir WillyCagnes,
Je doute que le développements limités soient au programme des Lycées en France ...

[chombier]

bsr,

tu pars de l'hypothèse que l'on sache derivée une exponentielle.

C'est gonflé de la part de quelqu'un qui utilise le développement limite à l'ordre 3 de la fonction ln pour trouver sa dérivée :ptdr:

Dans le programme de terminale actuel, la fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exp, qui est sa propre dérivée par définition.

Il y a donc deux demonstration possibles : celle de Black Jack mais en plus académique : avec un changement de variable, ou on utilise le fait que les courbes de ln et exp sons symétriques par rapport à la première bissectrice, et on repars des core directeurs des tangentes.

[Carpate]

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Salut Carpate !,

Merci pour ta réponse, la première partie de ta réponse veut donc dire que c'est défini comme tel, c'est une DEFINITION officielle, qu'il faut apprendre ou prendre comme telle, d'accord.

Pour essayer de retrouver le résultat de la dérivée (je suis plus à l'aise dans ce sens là) j'ai trouvé la démonstration suivante :
g(x)=ln(ax+b) avec a0
composée de x---> u=ax+b ---> ln(u)=g(x)
à condition d'avoir ax+b >0
g'(x) = ln'(u) * u'(x) =
Conséquence :
(lnu)'=u' / u
(ln(ax+b))' = a / (ax+b)
(ln(ax))' = 1/x

Ce que je ne comprends pas c'est dans cette ligne : g'(x) = ln'(u) * u'(x) =
C'est le passage de ln'(u) à 1/u(x) car ça ne démontre rien c'est se servir de la formule du cours qui dit que la dérivée de lnx est égale à 1/x, mais comment passe-t'on de l'un à l'autre ou bien il faut se contenter de la défintion en première partie de ton message....

Merci pour m'éclairer encore......

ou encore


et

[chombier]

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Salut Carpate !,

Merci pour ta réponse, la première partie de ta réponse veut donc dire que c'est défini comme tel, c'est une DEFINITION officielle, qu'il faut apprendre ou prendre comme telle, d'accord.

Pour essayer de retrouver le résultat de la dérivée (je suis plus à l'aise dans ce sens là) j'ai trouvé la démonstration suivante :
g(x)=ln(ax+b) avec a0
composée de x---> u=ax+b ---> ln(u)=g(x)
à condition d'avoir ax+b >0
g'(x) = ln'(u) * u'(x) =
Conséquence :
(lnu)'=u' / u
(ln(ax+b))' = a / (ax+b)
(ln(ax))' = 1/x

Ce que je ne comprends pas c'est dans cette ligne : g'(x) = ln'(u) * u'(x) =
C'est le passage de ln'(u) à 1/u(x) car ça ne démontre rien c'est se servir de la formule du cours qui dit que la dérivée de lnx est égale à 1/x, mais comment passe-t'on de l'un à l'autre ou bien il faut se contenter de la défintion en première partie de ton message....

Merci pour m'éclairer encore......

En terminale S, en France, la définition officielle actuelle de la fonction ln est la suivante :

[Black Jack]

bsr,

tu pars de l'hypothèse que l'on sache derivée une exponentielle.

Certes, on ne doit pas réinventer la roue à chaque fois.

... Tout comme on ne doit pas redémontrer le théorème de Pythagore à chaque utilisation.

:zen:

[laetidom]

MERCI A VOUS TOUS pour ces "différents angles d'attaque" visant à m'apporter la réponse à mon interrogation népérienne (humour !), je suis très content !, thanks !, @+