Demo theoreme des valeurs intermediaires

[andalous]

Salut a tous, je bloque sur un exercice j’aimerais que vous m’aidiez merci

Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires.
La démonstration se fait en deux étapes. Dans la premiere étape, on se place dans le cas particulier où zero se trouve entre f(a) et f(b) et on démontre qu’il existe un nombre c de [a ;b] tel que f(c) = 0. Dans la deuxième étape, on montre que le cas général se ramène à ce cas particulier.

A. Première étape
On suppose f(a) < 0 et f(b) > 0 . On construit par dichotomie deux suites (Un) et (Vn) et la façon suivante, on pose Uo=a et Vo=b et pour tout n superieur ou egal à 0 :

;) si f( (Un+Vn)/2) > ou egal a 0, on pose U(n+1) = Un et V(n+1) = (Un + Vn)/2
;) si f( (Un+Vn)/2) < ou egal à 0, on pose U(n+1)= (Un + Vn)/2 et V(n+1)=Vn

1. Prouvez que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. Notez c leur limite
2. a) prouvez que la suite (f(Un)) converge vers f( c ), puis déduisez-en que f( c ) < ou egal a 0
b) prouvez de meme sur la suite f(Vn) converge vers f( c ) et donc que f( c ) > ou egal a 0
Concluez par f( c ) = 0 avec c dans [a :b]

B. Deuxieme étape

1. Onsuppose f(a) < f(b), y un reel tel que f(a) < y < f(b) . On note g la fonction définie sur [a :b] par g(x) = f(x) – y.
Justifier la continuité de g et en utilisant les résultats de la partie A justifier l’existence d’un nombre c de [a ;b] tel que f( c ) = y.
2.Onsuppose f(a)>f(b), en utilisant la fonction (-f), démontrer dans ce cas le théorème.


Voilà bon j’ai commencé le A 1. J’ai fait un schéma représentant une fonction définie sur [a ;b] ac f(a)<0 et f(b) >0 et jai placé les premier points de la suite. J’en ai conjecturé une expression de Vn-Un = (b-a)/2^n donc leur limite tend vers 0. Ensuite pour les deux cas de f( (Un+Vn)/2) on a une suite constante et une décroissante( Vn) pour le premier cas et une constante et une croissante (Un) pour le second donc j’en deduis qu’elles sont adjacentes. Je ne suis pas sur de moi pour ce deuxieme raisonnement et la suite je n’y arrive pas merci de m’aider bye

[Daragon geoffrey]

slt
pour la premère partie, je te propose une autre démonstration : Un et Vn adjacentes équiv à

[Daragon geoffrey]

lt pour la première partie tu as juste pour l'expression des 2 suites, mais je te propose une otre démonstration : Un=a (suite constante), et tu poses Wn=Vn-a alors Wn suite géométriqu de raison 1/2 et de prmier terme b-a donc Wn=(b-a)/2^n équiv à Vn=(b-a)/2^n +a donc on a bien lim Vn-Un=0 avec f(x)=(b-a)/2^x +a de dérivée f'=(a-b)ln2/2^x du sgn de a-b positif équiv à a sup à b or d'aprè l'énoncé on travaille sur [a;b] équiv à a inf à b donc a-b négatif donc f' inf à 0 équiv à f décroisante équiv à Vn décroissante !
pour le deuxième cas c la même chose, simplement c vn qui est constante et Un qui a une expression similaire à celle de Vn ds le premier cas !

[Daragon geoffrey]

slt par définition on note lim Un=c alors par le th de composition des lim on a lim f(Un)= lim f(x) =f(c) lorque x tend vers c or Un=a alors on a lim f(a) =f(c), et comme f(a) est négatif alors f(c) est négatif, sinon ds le cas contraire f(a) serait positif à partir d'un certain rang ! procède de la même manière pour Vn, la conclusion est alors évidente, tu réalises l'intersection des conditions requises, cad f(c) à la fois positif et négatif équiv à f(c)=0, qui est la seule solution qui remplit simultanément ces 2 conditions ! @ +

[Daragon geoffrey]

slt
pour la continuité de g, il te suffit de dire que g est continue en tnt que différence des 2 fct f et j(x)=y (fct constante) toutes deux continues sur [a;b] et comme les opérations sur les fct conservent la continuité alors g est ossi continue !
ensuite de la partie 1 tu sais que ds [a;b] il existe c tel que g(c)=0 (résultat démontré) et donc tel que g(c)=0 équiv à f(c)-y= équiv à f(c)=y !

[Daragon geoffrey]

juste une question, ds la dernière partie quand tu parles de la fct "-f", tu fais référence à la fct réciproque de f ou à otre chose ?

[andalous]

merci beaucoup pour tes indication je vais essayer de me débrouiller!
Pour -f je ne sais pas car c'est donné tel quel dans l'énoncé mais je pense que c'est la fonction donc la représentation graphique est symetrique par rapport a (Ox) bye

[Daragon geoffrey]

si tu veu enocre un peu d'aide fais signe alors @ +