Decomposition en fractions simples

[Anonyme]

Bonjour

J'ai une question concernant la decompostion d'une fonction rationnelle en une somme de fractions simples.
Voici un exemple de wikipedia:

Étude d'un cas simple :

Cette fraction admet deux pôles simples 1 et -1 donc \, .

On en déduit que F peut s'écrire sous la forme :



Il s'agit de déterminer A et B. Une méthode qui est toujours réalisable consiste à réduire au même dénominateur le membre de droite de la décomposition et à identifier les coefficients des numérateurs. Cette méthode n'est pas très efficace car elle demande la résolution d’un nombre d’équations correspondant au nombre de coefficients à déterminer. On peut réduire grandement le travail en éliminant, par une multiplication judicieuse, tous les coefficients sauf un. Ainsi dans notre exemple en multipliant par (x-1), on obtient



En posant alors x= 1, il vient A= 1/2

Puis, en multipliant F(x) par (x+1) et en posant x= -1, il vient B= -1/2 puisque


La fonction F se décompose alors en

Mais voila a un moment donne on a multiplie par (x-1) qui etait au denominateur donc x != 1 (x different de 1) et puis juste apres on a remplace x par 1 ce qui contredit la condition.

N'est ce pas illogique ? et pourtant ca marche

Merci

[Ben314]

Bonjour,
Tu as PARFAITEMENT RAISON.
Il y a plusieurs façons de justifier la démarche qui comme tu le dit toi même fonctionne :
1) Utiliser des "fractions rationnelles formelles" mais c'est d'un niveau un peu élevé.
2) Remplacer le "en POSANT x=-1" par "en FAISANT TENDRE x vers -1"
3) Constater qu'aprés avoir multiplié par (x-1) on a a gauche et à droite du = des fonctions CONTINUES, définies au point x=-1 et égales lorsque x est "proche de -1". On peut en déduire qu'elles sont aussi égales pour x=-1.

[Anonyme]

2) Remplacer le "en POSANT x=-1" par "en FAISANT TENDRE x vers -1"

Ca parait beaucoup plus logique.

3) Constater qu'aprés avoir multiplié par (x-1) on a a gauche et à droite du = des fonctions CONTINUES, définies au point x=-1 et égales lorsque x est "proche de -1". On peut en déduire qu'elles sont aussi égales pour x=-1.

Je ne suis pas d'accord. Pour moi cette expression n'est pas defini en -1 (sinon il n'y aurait pas de probleme). Peux tu m'expliquer pourquoi elle est defini en -1 ?
Ne faut-il pas regarder ce qu'il precede et d'ou on a obtenu cette egalite et dans quelles condition ?

Merci

[Ben314]

J'ai effectivement écrit une c..., aprés avoir multiplié par x+1 à droite et à gauche du = (et pas par x-1) , les fonctions sont définies au point x=-1, sont continues en -1 et égales pour x proche de -1. On peut en déduire qu'elles sont aussi égales en x=-1.

Les fonctions dont je parle ici sont et

désolé d'avoir pu t'embrouiller.

P.S :
De toute manière, l'explication 3) est, au fond, la même que l'explication 2) car pour prouver que les deux fonctions ci dessus sont égales en -1, on fait... tendre x vers -1 !!!

[Anonyme]

Oui et merci pour tout