Correction non comprise (nombres complexes)

[Kugge]

Bonjour. J'ai deux questions, que j'ai mis en gras. (Notées 1 et 2)

Je dois montrer que admet une racine imaginaire pure.
Dans la correction, on nous dit que cela revient à montrer qu'il existe un réel tel que .
Pourquoi ? Quel est le rapport avec la racine imaginaire pure ? (1)

Suivant cette piste, on trouve avec .
On nous dit qu'il faut factoriser de telle manière a avoir un polynôme du premier degré multiplié par un trinôme du second degré.

Sur la correction il est dit que puisque alors on peut factoriser par .
Pourquoi ? Je ne comprends pas le rapport et par quel raisonnement j'aurais du trouver cela. (2)

Le reste est compris, mais j'ai l'impression que ces deux informations sortent de nulle part..
Merci d'avance pour vos réponses.

[Kugge]

Petite erreur, c'est (pas de puissance z)

[Mimosa]

Bonjour

Un nombre imaginaire pur est un nombre de la forme avec et il est racine de si et seulement si .

Il faut savoir que est racine de si et seulement si est divisible par .

[Yezu]

Salut,

Je ne vois pas très bien ce que tu ne comprends pas pour la racine imaginaire pure. Un nombre complexe imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit comme , avec . Il est imaginaire pur justement parce que .

Il est vrai que vous ne voyez pas cela au cycle terminal, mais tu verras que si un polynôme admet une racine , beh on peut factoriser le polynôme sous la forme suivante :
avec de degré inférieur à .
La preuve tient en quelques lignes, tu peux par exemple consulter ce lien wiki.

[titine]

Dire que Z0 est une racine du polynôme P signifie que P(Z0) = 0
Par exemple, 1 est une racine du polynôme P défini par P(x) = x^2 - 2x + 1
Tu veux montrer que P admet une racine imaginaire pur.
Un imaginaire pur est un nombre de la forme ai avec a réel.
Tu dois donc montrer qu'il existe un réel a tel que P(ai) = 0

Lorsqu'un polynôme P a pour racine Z0 il est factorisable par (z - Z0)
C'est à dire qu'on peu le mettre sous la forme (z - Z0) * Q(z)
Avec Q qui est de degré (n-1) si P est de degré n.

[Yezu]

Edit : mon lien était merdique et on s'est croisé avec Mimosa (1 minute d'intervalle ^^).
Plutôt ce lien, la première section.

[Mimosa]

Je vous laisse continuer.
Juste une remarque pour titine. Si est racine on a bien mais n'est pas forcément de degré . Par exemple si ...

[titine]

Oui, autant pour moi !
On peut juste dire que degré de Q < degré de P

[Kugge]

C'est compris ! Merci a tous pour vos réponses et bonne journée / soirée !

[GaBuZoMeu]

Je confirme ce qu'a écrit Titine : un polynôme de degré a pour racine si et seulement si peut s'écrire sous la forme , [et alors est forcément de degré . Dans l'exemple de Mimosa, .

[Tuvasbien]

Je confirme de même, si alors l'égalité des degrés implique donc (à noter que cette égalité reste vraie si est le polynôme nul, auquel cas ).

[aymanemaysae]

Bonjour;

Un autre chemin pour arriver à bon port :





.