Convergence d'une suite.

[quentinsz]

Bonjour a tous.

Voila j'étudie la convergence d'une suite mais je bloque acutellement sur une question.

Voila, on nous donne la suite cn définie par c0 = 2 et pour tout n superieur ou egal a 0 cn+1 = (cn²+1)/(2cn-1).

J'ai prouvé juste avant que f(x)=(x²+1)/(2cn-1) avait f(phi)=phi et f ' (phi)=0.

Et la on me demander d'en déduire par récurrence que, pour tout n plus grand ou égal a 0 : phi plus petit ou egal a cn+1 plus petit ou égal a cn plus petit ou égal a 2.

J'essaye donc de faire un raisonnement par récurrence :
Initialisation : pour n=0
on a phi plus petit ou égal a 5/3 plus petit ou égal a 2 plus petit ou égal a 2
Ca marche donc :

Puis j'essaye de prouver pour un n que ca marche et la je sature totalement.

Si quelqu'un pouvait m'aider ca serait sympas !
Mercii !
Quentin

[Flodelarab]

Dans un premier temps, tu dois démontrer la décroissance de la suite.
Il découlera les 2 inégalités de droite.

Après, démontre qu'on ne peut pas décroitre en dessous de phi (comme image évidemment, pas comme antécédent) et tu auras toutes tes inégalités.

ok ?

[quentinsz]

Oui !
Je vois le raisonnement.
Par contre je trouve que la suite est croissante sur phi + l'infini.
Ca ne contredit pas l'inégalite ?

[Flodelarab]

La décroissance de la suite est dûe à la croissance de f(x).

Qu'est ce que la croissance ?
La croissance c'est le fait de dire: si je prend un x plus grand, mon y sera plus grand.

Donc si je prends un x plus petit et que f est croissante, alors y sera plus petit.

Et comme C(n+1)=f(C(n)), f étant croissante sur [phi;2], et f(2)<2 alors on peut prouver par récurrence que la suite est décroissante.

(ya plus qu'à écrire proprement une démonstration)



Or f(x)>=phi sur [phi;2] donc C(n+1)>=phi quelque soit n positif.


ok?